Úlohy o vlakoch 6 - zhrnutie a mravné ponaučenie

Pred pár týždňami sme sa začali zaoberať úlohami o vlakoch. Ešte by sa dalo veľa pekných úloh jemne preformulovať tak, aby sa vtesnali do tejto kategórie, ale to nebudeme robiť:-) Teším sa, ak vás aspoň na chvíľu niektoré úlohy zaujali. Ďalšie úlohy o vlakoch teda už nejdem uvádzať. Ale aby to lúčenie s témou nebolo také rýchle, mám tu ešte pár otázok na zamyslenie a inšpiráciu pre vaše najbližšie cesty vlakom:

1. Ako to, že elektrické káble nad traťou v lete neprevísajú a v zime sa nepotrhajú?
2. Ako sa zabezpečuje tlak vo vodovodných potrubiach pre umývadielko a WC?
3. Na oboch koncoch hlavnej dlhej chodby vo vagóne sú samozatváracie dvierka (za nimi je malá predsieňka, hlavné dvere, záchody a prechodové dvere do ďalších vagónov). Tieto samozatváracie dvere fungujú výborne, samé sa zatvoria tak, ako dvere vybavené mechanizmom BRANO. Akurát, že vo vlaku tieto dvierka nijaké takéto zariadenie nemajú. Čím je teda zabezpečené ich samočinné zatváranie?
4. Čo myslíte, na rovných severo-južných úsekoch trate je vydratá viac západná alebo východná koľajnica (túto otázku mi raz položil dobrý priateľ Rišo)?
5. Prečo sa vo Zvolene niekedy vypne na pár minút vo vlaku kúrenie? :-)
6. Ku koľkým staniciam viete ešte priradiť príslušnú ľudovku, ktorá sa ozývala pred každým oznamom z ampliónov?
7. V ktorej časti vlaku sa cestuje najpohodlnejšie? (pohodlnosť je nepriamo úmerná "heganiu", mykaniu a nadhadzovaniu)

Prajem vám veľa príjemných ciest našimi krásnymi vlakmi. Ako vždy, komentáre k tomuto príspevku sú vítané.

Úlohy o vlakoch 5

Piata úloha tejto série v sebe nesie už oveľa silnejší dejový náboj ako tie predchádzajúce. Možno by sa dalo hovoriť dokonca o akejsi nežnej zápletke.

V kupé...

V kupé vo vlaku cestovali raz dvaja ľudia. Študent a študentka. A keďže študentovi sa spolucestujúca veľmi zapáčila, zaumienil si nepremárniť šancu, ktorá sa pred ním črtala. A tak jej po krátkom otáľaní navrhol takúto ponuku:

"Poviem vetu. Ak bude pravdivá, dáš mi svoje telefónne číslo. Ak bude nepravdivá, tak mi nedáš svoje telefónne číslo."

Spolucestujúca bola bystrá a hneď jej bolo jasné, že takéto podmienky hry ju budú pravdepodobne stáť prezradenie telefónneho čísla. Ale, keďže sa jej spolucestujúci celkom pozdával, a navyše jej lichotil tento prinajmenšom neštandardný spôsob dvorenia, smelo pristúpila k podmienkam hry.

A vtedy šuhaj vyriekol vetu, ktorá vohnala mladej dievčine rumenec do tváre akonáhle pochopila jej význam. Pretože si uvedomila, že ak má naozaj dodržať podmienky hry, na ktorej sa dohodli, musí svojho spolucestujúceho pobozkať...

Akú vetu to asi povedal?

Ak na to prídete, smelo to prezraďte v komentároch.


Poznámka 24.11.: Dopĺňam tento obrázok pre vyjasnenie charonovho komentára.

Úlohy o vlakoch 4

Veľmi peknú, hoci trochu morbídnu úlohu vhodnú do našej série úloh o vlakoch mi pred časom dal môj spolužiak Jano.

Dve mačky v úzkom tuneli

Vo vlakovom tuneli spia dve mačky. Odrazu sa zobudia na trúbenie vlaku, ktorý sa rúti smerom do tunela. Mačky sa nachádzajú presne v tretine tunela, ak jeho dĺžku meriame od vchodu, ku ktorému sa práve rúti vlak. Sú to veľmi podobné mačky, a tak obidve bežia rovnako rýchlo. Jedna sa rozbehne vlaku naproti v snahe ubziknúť mu vchodom do tunela skôr ako sa doň vrúti vlak. Druhá sa rozhodne utekať dlhším úsekom tunela smerom preč od blížiaceho sa vlaku, dúfajúc, že sa prešmykne východom tunela skôr ako ju vlak dobehne.

Nakoniec však vlak zrazí obidve mačky. Prvú presne pri vchode do tunela a druhú presne pri jeho východe. Koľkokrát je vlak rýchlejší ako mačky?


Je to veľmi smutný príbeh, ale zato celkom pekná úloha. Dá sa na ňu ísť silou a vyrátať ju pomocou vzorca pre rovnomerný priamočiary pohyb, ak vám nevadí, že v skutočnosti nepoznáte ani čas, ani dĺžku tunela, ani absolútne rýchlosti, ani vzdialenosť vlaku od tunela vo chvíli, keď zatrúbil. Ale dá sa na to pozrieť aj oveľa jednoduchšie, bez nutnosti písať si na papier akékoľvek výpočty. A preto je tá úloha taká pekná.

Nový blok môže začať

Práve som dokončil kopírovanie svojho starého bloku sem na blogspot. Odteraz už príspevky nebudú v názve obsahovať dátum a nebudú označené ako "starý blok". Ak ste v skopírovaných odkazoch objavili nejaké nefunkčné linky, dajte mi, prosím vedieť. Tiež vám dávam do pozornosti, že tomuto bloku predchádzala stránka rasto.krestania.sk. Ak by ste chceli navštíviť môj starý blok, kliknite rasto.krestania.sk/blok.htm

Úlohy o vlakoch 3. (7.11.2008)

Tretiu úlohu poznám od môjho dobrého priateľa Braňa. Kým predchádzajúce úlohy boli pomerne priamočiare a stačilo na ne aplikovať nejaké vedomosti, táto si vyžaduje skôr nejaký vlastný kreatívny vklad a štipku logiky.

Prečo sa nevykoľají?

Keď prechádza vlak zákrutou, koleso na vonkajšej strane zákruty musí prejsť väčšiu dráhu ako koleso na vnútornej strane zákruty za rovnaký čas. To znamená, že sa "musí krútiť rýchlejšie". Avšak kolesá vlaku (na rozdiel od auta) sú pevne spojené spoločnou oskou. To znamená, že počas celej jazdy sa obidve kolesá točia rovnakou rýchlosťou. Ako je teda možné, že sa vlak v zákrute nevykoľají?

Správnou odpoveďou nie je ani prešmykovanie, ani tá prečnievajúca vnútorná časť kolies vlaku. Ako hint si môžete ísť pozrieť koľaje v nejakej peknej zákrute. Ale dávajte si, prosím vás, na seba pozor. Odpoveď nájdete tu.

Úlohy o vlakoch 2. (7.11.2008)

Toto je voľne prerozprávaná známa úloha, ktorú možno nájsť s rôznymi obmenami číselných hodnôt a príbehu.

Supervčela

Dva vlaky sú od seba vzdialené 100 km. Rútia sa proti sebe na jednej koľaji. Jeden ide rýchlosťou 125 km za hodinu, druhý ide rýchlosťou 75 kilometrov za hodinu. Spolu s pomalším vlakom vyštartuje aj supervčela, ktorá letí naproti rýchlejšiemu vlaku rýchlosťou 300 km za hodinu. Keď ho dostihne, v momente sa otočí a letí zas naspäť. Takto poletuje od jedného vlaku k druhému, až kým sa vlaky nezrazia a nerozpučia ju na svojich čelných sklách. Koľko kilometrov nalieta supervčela?

Keď to vyriešite, prečítajte si historku, ktorá sa k úlohe viaže:

Historka. Úloha sa dá riešiť viacerými spôsobmi. Zvyčajne sa ľudia vyberú jednou z dvoch ciest. Alebo dĺžku dráhy včely rátajú ako súčet nekonečného radu, s čím sa dosť dlho zapotia a potrebujú si celú vec napísať na papier, alebo príklad riešia pomocou jednoduchej úvahy - najprv zrátajú čas, za ktorý sa vlaky zrazia, a potom dráhu včely získajú ako súčin tohto času a jej rýchlosti. To sa dá zvládnuť z hlavy v priebehu niekoľkých sekúnd. Kedysi vraj ktosi ten prvý prístup nazval "matematický" a ten druhý "fyzikálny". A podľa spôsobu riešenia sa potom ľudia delia na "matematikov" a "fyzikov". "Matematici" počítajú krvopotne súčet radu, kým "fyzici" rýchlo problém prekuknú a vyriešia. Raz takto vraj niekto skúšal Johna Von Neumanna. Keď mu úlohu zadal, ten pohotovo v priebehu pár sekúnd povedal správnu odpoveď. To bolo však prekvapivé, lebo od takého veľkého matematika sa očakávalo, že sa pustí do zdĺhavého počítania súčtu radu. A tak sa Von Neumanna opýtali, ako to vyrátal tak rýchlo. A on odpovedal, že jednoducho sčítal nekonečný rad...

Úlohy o vlakoch 1. (6.11.2008)

Nedávno som znovu cestoval vlakom. Zas som si uvedomil, aké sú vlaky super... človek si môže počas cesty pochodiť po chodbe, vykláňať sa z okna, sedadlá sú pohodlné, vlaky sú vybavené toaletami, príjemne hučia a hrkajú a pre študentov je cestovné dokonca pomerne znesiteľné. Vlaky sa asi vo všeobecnosti ľuďom celkom páčia (pokiaľ nebývajú blízko frekventovanej trate), pretože existuje veľké množstvo hádaniek a úloh o vlakoch.

Niekoľko úloh o vlakoch by som chcel ponúknuť tu v svojom bloku. Pokúsim sa napísať pár rôznorodých úloh ("vlak z mesta A ide oproti vlaku z mesta B" sme si už užili na základnej na fyzike dosť...). Začnem úlohou, na ktorú som naďabil dnes ráno v knižke od môjho dobrého spolužiaka.

Míňajúce sa vlaky

Chlapík stojaci na peróne si všimne, že okolo neho prešiel vlak, a že mu to trvalo presne 3 sekundy. O chvíľu okolo neho prefrčal opačným smerom vlak rovnakej dĺžky a trvalo mu to presne 4 sekundy. Ako dlho trvalo, kým sa míňali tieto dva vlaky navzájom?

Odpoveď nájdete tu.

Prečo nie raketový pohon na lietadlo? (29.9.2008)

Zvyšok tohto článku má zmysel čítať, len ak vám ako odpoveď nestačí nasledujúci obrázok:

Len na vysvetlenie, o čo tu vlastne ide. Existuju takzvané raketové motory pre modelárov. Sú to také klasické valčeky, v ktorých horí nejaká zmes a prudko vytláča plyn cez malú štrbinu von. Reaktívny pohon teda "tlačí" valček opačným smerom. Tieto raketové motory sa vyrábajú v dvoch základných výrobných sériách - ako raketové motory pre klasické raketky (horia tak 1-2 sekundy, veľmi veľmi prudko, ako "silestrovské rachejtle"...) a tryskové motory (horia pomalšie, cez 20 sekúnd, vynesú lietadlo pomaly do vzduchu, odtiaľ model pomaly plachtí naspäť na zem). Je veľmi dôležité nezaminiť si tieto dva typy motorčekov.

Nepodarilo sa mi zohnať tryskový motor, tak som použil na lietadlo raketový. Spravidla ma pri modeloch tešia dlhé lety. Čím dlhší let, tým viacej je moje srdce na konci letu rozplesané. Let s tryskáčom Brunom s nevhodným raketovým pohonom bol najkratší let v mojej modelárskej histórii. Trval menej ako 1,5 sekundy. Ale bol úžasný a desivý. Boli to vlastne štyri loopy za menej než 1,5 sekundy. Vo vzduchu po nich ostala zatočená dymová špirála a v ušiach ozvena toho desivého vžuchhhhhhh.

Dôvodom, prečo nikomu neodporúčam niečo takéto robiť, a bojím sa vlastnej tajnej túžby let zopakovať a natočiť na video, je tá obrovská rýchlosť modelu. Je ťažké si v tom krátkom čase vôbec uvedomiť, ktorým smerom model letí, nie to ešte pred ním teoreticky utekať ak by letel na vás. My sme s Miriam boli veľmi vďační, že Bruno robil špirálu smerom od nás, nie smerom k nám.

Lietajúce modely (20.9.2008)

Už som spomínal, že ma v septembri 2007 začali zaujímať lietadlá. Niekde hlbšie v tomto bloku spomínam najmä komára, s ktorým sme si zažili veľa zábavy, pri jeho rozkošne nemotorných a krásne pomalých letoch. Komár má polystyrénové krídla a smrekový trup, poháňaný je gumovým motorom. Je kúpený v Dráčiku.

Toto leto som sa v mojom dlhobom cieli (ktorým je pilotáž skutočného, alebo aspoň RC lietadla:-) posunul o veľmi príjemný krôčik ďalej. Kúpil som si totiž knižku Františka Doupovca o leteckom modelárstve. Je to úžasná knižka, majú ju v Lacných knihách za 99Sk (3,29 dukátov), a poskytuje perfektný úvod do výroby lietajúcich modelov. Aj takého absolútneho začiatočníka ako som ja dokáže táto knižka úspešne viesť k naozaj pekne lietajúcim kusom.

Predstavím vám teda dve lietadlá, ktoré nám s Miriam a jej rodinkou priniesli veľa radosti na lúkach nad dedinkou Veľké Borové na Liptovsko-Oravskom pomedzí. Obidve sú tzv. hádzadlá, teda nemajú motory, proste sa vyšmaria do vzduchu a potom pekne letia - ako vetrone. Na ľavom obrázku je Miriamka s lietadlom, ktorému prischlo meno Michal. V Doupovcovej knižke ho nájdete pod menom Miky. Okrem zdvihu uší krídel (to je to, že to krídlo nie je celé vodorovné, ale okrajové tretiny trčia smerom hore), nie je na 23 centimetrovom krídle už nič špeciálne. Predná časť trupu je kvôli vyváženiu omotaná kúskom medeného drôtu (kultivovanejší modelári používajú olovo). Michal lieta v priemere len okolo 12 sekúnd. Zato je však takmer nezničiteľný. Do zeme sa nám zapichol možno 30 krát a podobne veľa krát plnou parou v náklone krídlom zachytil zem. Bez ujmy na zdraví a letových vlastnostiach. Rekordný čas s ním v miernom podvečernom vánku hodil Miriamkin švagor - 20 sekúnd.

Čajka (dolný obrázok) je už o niečo výkonnejší model. S rozpätím 33 centimetrov a pekne tvarovaným krídlom dosahuje čas 20 sekúnd bežne. Rekord bol necelých 31. Je veľmi ľahký a pohybuje sa neobyčajne ladne. V bezvetrí a miernom vánku sa správa veľmi stabilne a letí už aj pri veľmi pomalých rýchlostiach. Niekoľkokrát sme Čajku hodili do veľmi miernej termiky. Zvláštne sa rozochvela a trochu vystúpala do výšky. Spoľahlivosťou v pravidelne dlhých letoch si Čajka navždy získala vďačné miesta v našich citom zaplavených spomienkach. V knižke ju nájdete pod menom Dan.

Keď po sebe čítam tieto suché slová, viem, že sa mi nepodarilo opísať nádheru voľných modelov. Jednoducho ten statický ľahostajný chlad pixelov monitora nemá šancu vyžiariť ani malý zlomok nádhery, ktorú cítite, keď pozorujete, ako sa pár kusov jednoducho spracovaného dreva majestátne vznáša nad vami. Lietanie mi prináša povznášajúce pocity. Nechcem nikoho uraziť, ale pre mňa je lietanie priam duchovný zážitok. Na tejto záľube je (okrem toho, že to stojí dukáty) všetko krásne - stvoriteľská radosť pri práci (pritom človek ale musí pracovať trpezlivo, presne a sústredene), pohyb v prírode (Čajka nám na lúke doletela vyše 200 metrov), krása samotného letu a pozorovanie prírody (či už tej, čo vás obklopuje, alebo tej dôležitej k lietaniu, teda termika, vánok, terén).

Najzaujímavejšie pohľadnice (7.9.2008)

Ročné obdobie, ktoré sa u nás práve chýli ku koncu je typické tým, že veľa ľudí všelikam cestuje na dovolenky (čitateľom z iných končín Zemegule našepkám, že spomínaným ročným obdobím je leto). Napriek mohutným reklamám mobilných operátorov a dostupnosti internetu sa nájdu ľudia, ktorí pozdravy z dovolenky riešia klasickými pohľadnicami posielanými poštou. Je to pekný spôsob ako pozdraviť priateľov a rodinu, podeliť sa s nimi o radosť a prejaviť im láskavú pozornosť napriek fyzickej vzdialenosti. Napriek týmto milým aspektom som väčšinu života pokladal pohľadnice za nesmierne nudnú a zbytočne drahú záležitosť.

Toto leto som však dostal niekoľko pozoruhodných pohľadníc-výnimiek. Veľmi ma potešil môj spolužiak Balázs, ktorý má svojský zvyk posielať nie jednu pohľadnicu, ale rovno niekoľko pohľadníc zabalených v listovej obálke. Jednou z takejto skupinky pohľadníc, ktoré som od neho toto leto dostal, bola aj pekná otváracia pohľadnica štvorcového formátu. Na obrázku ukážka rukopisu nejakého skladateľa, podpis Ludwig Van Beethoven, nadpis CLAIR DE LUNE, datovanie 1799. Nuž, niečo tu nesedí, pomyslel som si s pobavením. Veru, ako som pri klavíri doma zistil, noty naozaj pochádzali z Beethovenovho pera. Išlo o začiatok tretej časti slávnej klavírnej sonáty cis mol, Op.27 No.2, ktorej neskôr kultúrny svet prirobil názov Mondschein-Sonate - quasi una fantasia, teda Sonáta mesačného svitu. Zaslúžila sa o to najmä prvá lyrická, pianissimová časť sonáty, nie bezstarostná druhá ani vášnivá (až patetická) tretia časť. Datovanie na pohľadnici skoro dobré - 1802, ale však s datovaním sa dá polemizovať. Najhoršie je to priradenie nešťastného nadpisu CLAIR DE LUNE, čo asi tiež znamená niečo ako svit mesiaca, ale v takomto francúzskom znení je tento názov v kontexte klasickej hudby jednoznačne priradený k 2. časti Debussyho Bergamaskej suity (Suite Bergamasque) z roku 1905. Morálne ponaučenie je také, že treba byť podozrievavý, keď vidíte francúzsky nadpis nad menom nemeckého skladateľa. Nuž čo, nacionalistickému francúzskemu editorovi tejto pohľadnice vďačíme za príjemný muzikologický výlet v toto lenivé dusné popoludnie.

Druhou pozoruhodnou pohľadnicou bola tá od Jana Fédera, tiež môjho spolužiaka. Ustálenú pohľadnicovú formulku "posielam ti pozdrav z...," využil na skvelý matfyzácky vtip. (Viac o tomto type humoru sa dočítate v staršom príspevku o logickom myslení.)

Za skvelé pohľadnice obidvom ďakujem a každému prajem takýchto dobrých kamarátov.

Dvojnásobný uhol (26.8.2008)

Rád by som ulahodil aj tým čitateľom tohto bloku, ktorí majú radi logické hádanky a matematické úlohy. Minulý semester som mal zapísaný predmet Geometria 3, na ktorom sme mali výborné cvičenia s doktorkou Polednovou. Okrem iného nám poskytla aj malú, šikovnú zbierku geometrických úloh. Teraz cez prázdniny občas riešim niektoré z týchto príkladov. Ponúkam vám jednu z nich.

Dané sú dva body A, B, neležiace na danej priamke p. Zostrojte bod X na priamke p taký, aby priamky AX a BX zvierali s priamkou p ostré uhly, z ktorých jeden je dvakrát väčší ako druhý.

Úloha nie je vôbec triviálna, hoci si jej vyriešenie nevyžaduje vedomosti presahujúce základnú školu. Riešením úlohy sa myslí vykonanie dôkazu, alebo aspoň dobrého rozboru, nie náhodné rysovanie, alebo kreslenie. Samozrejme, je užitočné si riešenie pre pocit dokončenosti nakoniec aj narysovať.

Prajem príjemnú zábavu pri riešení.

Poznámka 7.9.2008 - Na čitateľský podnet uvádzam štandardný predpoklad, že súčasťou riešenia by mala byť aj diskusia o existencii riešenia. Hlavne je dôležité neriešiť podobné úlohy len v určitých špeciálnych prípadoch, ale vytvoriť riešenia pre použiteľné pre všetky možné konštelácie objektov určených zadaním, resp. ku každému rozloženiu objektov spĺňajúcemu podmienky zadania priradiť množinu riešení.

Fragile v Kafe Scherz (25.8.2008)

Dnes podvečer som si doprial to potešenie a zašiel som na koncert vokálnej skupiny Fragile do neďalekej kaviarne (Kafe Scherz). Najprv niečo o kaviarni. Občas chodím v noci na potulky mestom. Väčšinou sa prechádzam uličkami pod Slavínom, ale sčasu načas sa zájdem pozrieť aj na atmosféru noci v historickom centre. Tam človek stretáva čudné hlučné podniky a absurdných turistov. Z Kafe Scherz sa tiež občas ozýva hudba, ale okolie kaviarne býva zvyčajne pokojné a čisté, dokonca aj v piatok a sobotu v noci. Dnes som bol v kaviarni Scherz na koncerte. Podniky zvnútra veľmi nepoznám a tak ma prekvapilo, že sa tam fajčí, že mi niekto bud ponúka nápoje a že niektorí ľudia sa počas koncertu rozprávajú. Po chvíli som pochopil, že som v kaviarni. Nie v koncertke. Tak som sa upokojil, objednal som si čaj, a vychutnával som si vokálnu šou.

Šou je asi to správne slovo. Bola to v prvom rade zábava. Fragile výborne spievali, ale bola to hudba v službe zábavy. To neznamená, že by to nebola skvelá hudba a prekrásne spevácke výkony. Možno práve tá zábava robí spevákov Fragile nádherne uvoľnených, a preto znejú ich skladby tak ľahko a počúvajú sa tak dobre. Trochu som si v mysli vzdychol, aké by to bolo, keby si Bobby McFerrin na bratislavský koncert pozval namiesto CHF skupinu Fragile. Som presvedčený, že by bolo viac improvizácie, tvorivej radosti a vtipu.

Tvorivá radosť, vtip ani improvizácia v Kafe Scherz dnes nechýbali. Nechýbali ani intermezzá v podobe scénok a rozprávania. Jediným nedostatkom bolo nie práve najdokonalejšie ozvučenie. Inak boli Fragile naozaj príjemný zážitok po unavenom letnom dni.

Ked už som spomenul Close Harmony Friends, pripomeniem už len to, že niektorí speváci Fragile pretým pôsobili v CHF. CHF sa zameriaval viac na duchovnú a klasickú hudbu. Fragile sa ubral skôr komerčným smerom a spieva viac menej iba popové pesničky (teda, myslím tým aj pop-jazzové a pop-rockové:-). Je to taká stredne smutná situácia. Asi na Slovensku nie je až tak obrovská poslucháčska základňa pre vokálne skupiny. A keď už vokálna skupina, tak radšej zábava, ako niečo trochu náročnejšie (CHF kedysi kráčali trochu aj v stopách slávnych Swingle Singers, keď podobne ako oni spievali aranžované štvorhlasé Bachove fúgy, či kantáty...) A keď už niečo vážnejšie (Fragile zaspievali dve duchovné piesne), tak aspoň to okoreniť poriadnou dávkou srandy - napríklad dirigovaním ružovou slamkou. A to by niekomu mohlo trochu vadiť. Ale práve preto, že Fragile spievajú skôr komerciu, dokážu byť tak populárni, aby vystupovali pravidelne aj na takých miestach ako je bratislavská kaviareň.

Teším sa, že som mohol zažiť tento večer. Ak niekedy budete mať možnosť zájsť na Fragile, nenechajte si ju ujsť.

Red Bull Air Race (10.8.2008)

Dnes sme mali s bratom Radom skvelý zážitok. Spolu s asi ďalšími stotisíc ľuďmi sme sa prizerali šikovnosti akrobatických pilotov. Nad Bratislavským Dunajom pretekali páni Peter Besenyei a Hannes Arch vo svojich úžasných lietadlách.

Na takomto lietaní sa mi páči: úctu vzbudzujúci hluk motora (ten zvuk najpresvedčivejšie zvestuje, aká sila sa skrýva v lietadle, ktoré je schopné lietať cez 400km/h, a znesie nepochopiteľné preťaženia až do 10G), voľnosť - trajektória letu je rýdzo trojdimenzionálnej povahy (nie ako keď sa pretekajú bobisti v 1D alebo lode či autá v 2D - akrobatické lietadlo si s absolútnou chuťou využíva voľnosť pohybu v trojrozmernom priestore), vratkosť/stabilita lietadla (otáča sa tak prudko, ako keby neexistovala zotrvačnosť, zároveň sa po otáčke okamžite zastaví v novej polohe... tesné manévre dokazujú ako presne sa dá lietadlo ovládať), akrobacia - samotné kúsky sú proste úžasné. Piloti po skončení pretekov predviedli niekoľko pekných aerobatických manévrov.

Medzi dvoma pármi pretekových letov oblohou lietali 4 stroje skupiny Flying Bulls. Predviedli pôsobivé synchronizované lietanie, niekoľko pekných formacií a figúr a nakoniec pár nádherných manévrov. Pre viac fotiek kliknite na obrázok alebo sem.

Večer som si bol zaplávať v Rusovciach. Keď som doplával a chystal som sa nasadnúť na bicykel, aby som sa pobral domov, moje uši sa radostne zachveli. Začuli totiž krásne hlboké vrčanie. Rovno ponad jazero preletela dvojica akrobatických lietadiel. Stotisíc ľudí videlo akrobaciu pri Dunaji. Večerný bonus - pomalý, majestátny prelet pánov pretekárov vracajúcich sa domov ponad Rusovecké jazero - však sledovalo len niekoľko párov očí. Bol to radostný deň.

Básničky (8.7.2008)

Pri včerajšom upratovaní som náhodou naďabil na pár malých básničiek, čo som vymýšľal, keď som ešte sedel v lavici vedľa Riša Š. na strednej škole.

Zásadná otázka

mám ťa tak rád, že
život bez teba si už
ani nedokážem predstaviť.

z toho nutne vyplýva otázka:
- ide o takú silnú lásku,
alebo takú slabú predstavivosť...?!

Nestrácam sebavedomie

aj keď som nula,
mám šancu byť úspešný.

- vo svete záporných čísel...

Advent

mám pocit, že celý život
trávim zahľadený dopredu
v napätom očakávaní niečoho
čo nepoznám, čo však určite má prísť.

a tak trpezlivo čakám,
vyzerám do budúcnosti,
až ma raz z tohto životného adventu
vytrhne - nečakaný - okamih vlastnej smrti.

Písomky (7.8.2008)

Pri dnešnom upratovaní som náhodou naďabil na jednu písomku zo slovenčiny z tretieho ročníka gymnázia. Zadaním bolo charakterizovať tvorbu Mila Urbana, ale nevenovať sa v odpovedi dielu Živý bič. Na to, koľko som o ňom (ne)vedel, napísal som toho pomerne dosť. Nehanbím sa to sem uverejniť, veď si srandu si robím len zo seba, a to sa v istej zdravej miere určite môže:

"Milo Urban sa narodil, žil a umrel. Detaily nie sú zaujímavé. Bol asi najvýznamnejším slovenským spisovateľom v povojnovej ére. Z jeho diela je najvýznamnejší román Živý bič, o ktorom sa nemám vyjadrovať. Tak mi neostáva nič iné, len skončiť."

Samozrejme, z tej písomky som dostal päťku. Raz sa mi však podarilo vytiahnuť jednu písomku z geografie na štvorku - myslím, že sme preberali Južnú Ameriku. Nevedel som ani len, aké štáty sa tam nachádzajú, tobôž nie ich hlavné mestá. Napísal som však asi dvojstranový text, kde sa miešali nezmyselné vety chudobné na informácie s nespokojnými výčitkami na spôsob výkladu. Nuž, učiť na strednej musí byť strašné - sebaformovanie mladých osobností vie byť voči okoliu vo svojej spontánnosti veľmi necitlivé. Obzvlášť takí suverénni murdlanti, ako som bol aj ja, vedia narobiť vrásky na čele.

Až na matfyze som zistil, že nie množstvo slov, ale ich obsah rozhodujú o výsledku písomky. Podarilo sa mi tu odovzdať niekoľko písomiek, ktoré mi zabezpečili nulový bodový zisk. Ich rozsah sa pohyboval od prázdneho papiera (teória aproximácie a interpolácie) po dvojhárok formátu a4 popísaný výpočtami(-: matematická analýza 4)

Keď som nedávno praxoval na Novohradskej, dostalo sa mi aj opravovania nejakých písomiek. Napriek tomu, že to boli písomky z matiky, našlo sa tam zopár výtvarných skvostov (kvetinky, postavičky, zvieratká...), a aj zopár slohov ("Prepáčte, bol som dva týždne chorý a ešte som si to nestihol dobrať..."). Spomenul som si, ako som aj ja mal kedysi vo zvyku po dopísaní písomky zvyšný čas využívať na kreslenie ilustrácií. Spomínam si aj na jeden zašifrovaný odkaz, ktorý som zanechal za okrajom písomky z dejepisu. Na matfyze som sa naučil, že je dobré sa prinútiť a prácu si po sebe skontrolovať, prípadne aspoň do poslednej chvíle dumať - niekedy dobré myšlienky nechajú na seba pár minút čakať.

Od čias písania bakalárskej práce mám zas vo zvyku využívať na zachytávanie myšlienok komix. Je to ideálny spôsob ako zrozumiteľne vyrozprávať príbeh (na matfyze nebýva časté), či zapísať napríklad stereometrickú alebo planimetrickú konštrukciu. Obdĺžnikové grafy sú zas skvelým nástrojom na zachytenie štruktúry algoritmu. Žiaľ mnohí učitelia ocenia presný rozbor a slovný postup konštrukcie viac ako komix, alebo formálny zápis v metajazyku namiesto grafu. Vlastná skúsenosť mi hovorí, že na matfyze sú učitelia alternatívnemu vyjadrovaniu dosť naklonení, pokiaľ dobre zachytí vnútornú logiku veci. Nebolo by v nikoho záujme upozorňovať na výnimky.

Nakoniec musím spomenúť dva veľmi rozdielne zvyky vyučujúcich. Obidva majú za následok lepšie výsledné známky. Jeden sa mi strašne páči, a jeden sa mi hnusí. Začnem tým zlým - dosť veľa mojich učiteľov po zadaní písomky odíde z triedy, niekedy aj na desiatky minút. O podvádzaní ma nebaví rozmýšľať, nieto ešte písať, preto týmto zmienku o negatívnej metóde na zlepšenie študijných výsledkov končím. Naopak, pekným príkladom je RNDr. Kosper, z Novohradskej. Počas veľkých písomiek má každý možnosť vypýtať si jeden "hint" - to znamená, že sa môže niečo Kospera spýtať. Úplná odpoveď nie je zaručená, ale väčšinou sa pýtajúci dozvie aspoň nejaký dobrý "hint". Celkom motivujúce a v Kosperovom podaní aj zábavné. Čosi podobné robia viacerí výborní učitelia na matfyze - za všetkých spomeniem aspoň RNDr. F. Jaroša.

Škola je jednoducho super, písomky obzvlášť.

Stanovačka v Malých Karpatoch (5.8.2008)

Minulý týždeň sme s Miriam, Riškom, Báškou a Peťom zažili pekné chvíle v Malých Karpatoch. Opíšem tu stručne našu trasu - pre zdieľanie radosti a možno aj ako inšpiráciu. Ak si chcete trasu pozrieť na mape, budete potrebovať mapy 127 a 128 z edície VKÚ, alebo kliknite na tustistickamapa.sk.

Prvý deň

Vyrazili sme asi o pol jedenástej predpoludním z konečnej 203 na bratislavskej Kolibe. Z Kamzíka sme pokračovali po celý zvyšok túry po červenej - Štefánikovej magistrále. Prvé hodiny šľapania boli trochu rozpačité. S veľkými batohmi sme kráčali po dobre známom Bratislavskom lesnom parku a bolo ťažké veriť, že nie sme len na krátkej sobotnej prechádzke. Asfaltka po čase začala riadne tlačiť na nohy. Zbytočne sme so sebou ťahali z Bratislavy vodu. Cestou je veľa výborných prameňov (Máriin, Jarošov, Zbojníčka, Silnického bol veľmi slabý). Prvou veľkou odmenou bolo, keď sme neskôr popoludní prišli na vrch kopca Somár (695 m.n.m.), z ktorého bol nádherný výhľad. Keď sme v diaľke zbadali siluetu vysielača Kamzík, boli sme prekvapení, ako ďaleko sme vlastne zašli. Po krátkom oddychu sme pokračovali ďalej. Dosť vyčerpaní sme podvečer dorazili až na Pezinskú Babu. Veľmi nepríjemným prekvapením bolo, že v lete tu funguje menej bufetov ako v zime, keď sa lyžuje. Žiadna možnosť dočerpať si vodu.

Z biedy nás vytrhol Peťo - prišiel večer autom za nami a priniesol asi šesť fliaš vody. Miestečko na spanie sme si našli asi pol kilometra za Babou v smere červenej značky. Pod stúpaním na Čmeľok sme sa zašili asi 50 metrov od značky po akomsi pustom chodníku. Vypálené ohnisko nám prezrádzalo, že niekto tu už v nie tak dávnej minulosti nocoval. Miesta na stany veľa nebolo - chodník bol pomerne kamenistý a mimo chodníka rástlo husté malinčie. Na karimatkách na chodníku sa však spalo výborne. Napriek všetkým klobáskam a slaninke, ktoré sme si večer unavení opekali. Prvý deň sme prešli vyše 27 kilometrov.

Druhý deň

Po noci plnej krásnych hviezd, padajúcich meteoritov, zvláštneho ručania z neďalekej hory, aj blízkeho hrabania a prskania, šuchotania poľných myšiek, po prekrásnom východe kosáku mesiaca (tri dni pred novom), po ktorom zakrátko začalo vystupovať aj slnko, sme sa zobudili do nádherného teplého rána. Ešte sme predsalen zbehli na Babu a s istou dávkou naliehavej vytrvalosti sme presvedčili majiteľku reštaurácie, aby nám dovolila načerpať si 4 jedenapol litrové fľaše. Dali sme si aj kofolu. Pravá hnedá tu stojí 35 korún za pol litra. Bola to najdrahšia kofola akú som v živote pil. Nakoniec sme sa okolo jedenástej predpoludním vydali na cestu. 9 litrov vody na štyri osoby (nejaká voda nám zvýšila aj z predchádzajúceho dňa). Na mape bolo naznačených niekoľko prameňov.

Keď sme vyšli na Čmeľok (709), trochu sme ľutovali, že sme to sem nevytiahli už predošlý večer - našli sme tu ideálnu čistinku aj pekné ohnisko. Krajina tu bola veľmi podobná ako v bratislavskom lese, ale predsalen to už pre nás boli iné, nové pohľady a výhľady, a tak nás konečne začal napĺňať výletnejší pocit. Pekný výhľad sa naskytol zo Skalnatej (704), na ktorej nebolo veľa stromov a poludňajšie slnko nám tu nedovolilo dlhšie odpočívať. Pri zostupovaní pomerne strmým a prašným svahom sa Miriam pustila do spevu, šmýkanie sa dolu kopcom bolo o to veselšie.

Vrásky na tvári sa nám začali črtať, keď sme nenašli prameň ani na Hubalovej ani pri Panskom dome. Na Hubalovej síce tiekol čistý potok, takže prameň musel byť blízko, ale cesta k nemu bola zarastená, nepodarilo sa nám k nemu dostať. Trocha vody nám ešte zostalo, tak sme šli ďalej. Keď sme ani pri Panskom dome nenašli vodu, boli sme rozhodnutí večer zbehnúť do Sološnice. Keď sme však dorazili k rezervácii Roštún, a najmä keď sme vyšľapali prvých dvesto výškových metrov (Pod Malou Vápennou), nechcelo sa nám už znova schádzať do Sološnice, a po krátkej porade s priateľom na telefóne (Kubo, veľký výletník), ktorý nám potvrdil, že pri Mesačnej lúke je riadny prameň, sme sa vydali ďalej. Vyšľapali sme na Vápennú (753), kde je úžasný výhľad, aj vďaka skvelej adrenalínovej rozhľadni. K prameňu pri Mesačnej lúke sme dorazili unavení a smädní asi 20:30, teda pár minút pred zotmením. Mali sme za sebou ďalších 24 kilometrov, množstvo nádherných výhľadov (Skalnatá, Malá Vápenná, Vápenná), a zaspávali sme už naozaj unavení. Roštún je prekrásne miesto, les je tu na pohľad veľmi pekný, výhľady z prekvapivo skalnatých vrcholov skvelé a žije tu všakovaké spevavé vtáctvo.

Tretí deň

Napriek odhodlaniu sa nám nepodarilo vyraziť pred desiatou. Myslím, že hlavne ja som zdržoval dlhým ranným spánkom - som asi zaryto mestský človek a ťažko sa mi synchronizovalo s prírodou (-: Amonova lúka, na ktorú sme po krátkom chodení dorazili vyzerá výborne. Keby sme deň predtým vládali zájsť až sem, bolo by to ideálnejšie nocovanie. Les tu bol o niečo redší a na čistinách tu rástli vysoké rastliny s masívnou stonkou a radiálne sa rozbiehajúcimi byľkami. Na mňa pôsobili priam vesmírne a sám pred sebou som sa hanbil, ako málo poznám prírodu. Prameň Mon Repos, ktorý mal byť pre tento deň hlavným zdrojom vody bol dobre označený a vo výbornom stave. Jeho jediným nedostatkom bolo, že tiekol veľmi pomaly. Liter a pol za asi tri minúty. Naplnenie ôsmych fliaš sa tak zmenilo na veľkorysú desiatovú prestávku. Keď sme po červenej míňali Bukovskú vodnú nádrž, stretli sme nejakých rakúskych cyklistov, ktorí sa prekvapivo dobre bavili na Rišovej vtipnej odpovedi na ich otázku, či sme sa už boli kúpať: "Niee, na to my čas nemáme."

V polovici stúpania na najvyšší kopec Malých Karpat Záruby (757) sa nachádza nádherná zrúcanina hradu Ostrý kameň. Tu nás zastihol dážď a búrka. Nečas sme prečkali pod širokou prechodovou klenbou zrúcaniny. Zdržanie nakoniec bolo trojhodinové, a tak sme na Záruby dorazili až pred siedmou večer. Z Ostrého kameňa k Zárubám sa ide po úžasnom skalnatom hrebeni. Nechcelo sa mi veriť, že takýto terén a výhľady sú v Malých Karpatoch. Záruby nás naplnili veľkou radosťou, asi hlavne kvôli atribútu najvyšší kopec Malých Karpát. Výhľadom a pohostinnosťou bol však Ostrý kameň oveľa atraktívnejší. Na Ostrom kameni bolo niekoľko výborných výhliadok na jednu aj druhú stranu hrebeňa, ohnisko, smetné koše a pekné múry s výklenkami na ukrytie. Zo Zárub sme zošľapali do doliny, kde červená križuje lúku (resp. pole?). Tu sme našli svoje miesto na spanie, s pekne rovným, mäkkým, povrchom a dostatkom dreva na večerné kulinárske šantenie. Inak, teplé letné noci v Malých Karpatoch, v období okolo novu, keď je obloha naozaj tmavá a plná hviezd a metoritov, sú lúky ako bola táto, s erdžaním jeleňov a tlmeným hrmením v pozadí, úplne nádherným a romantickým miestom pre strávenie špeciálnych životných okamihov - ako napríklad zasnúbenie - my s Miriam by sme o tom vedeli čosi povedať.

Štvrtý deň

Po najpríjemnejšom nočnom odpočinku pod širákom sme sa zobudili do posledného dňa nášho výletu. Čakal nás zostup do civilizácie, a postupný koniec výletu. Skupinka sa nám podľa miery celkového vyčerpania a bolesti otlakov a šliach rozdelila. My s Miriam sme sa domov pobrali príjemným vláčikom zo stanice Výhybka Buková. Baška to vzala cez Trstín domov do Pezinka. Riško to z nás dotiahol naďalej - sám došľapal až na Katarínku.

Zhrnutie: Prežili sme pekný výlet. Keby sme mali ísť znova, zaviezli by sme sa autobusom rovno na Pezinskú Babu, či na Zochovu chatu, aby sme si ušetrili nohy na krajšiu časť šľapania. Pri takej dobrej predpovedi počasia akú sme mali my, by som druhýkrát nebral varič, vetrovku ani stan. Prekvapením bolo, ako málo ľudí sme tu stretávali. Bol to úplne súkromný výlet, mali sme pocit, akoby celé Malé Karpaty patrili iba nám. Ohromila nás krása rezervácie Roštún aj hrebeň v okolí Zárub, či menšie lúky a čistinky s bohatou zásobou pestrých rastlín. Na to, že sa náš výlet odohrával len takto "za humnami", bez ďalekého cestovania, bol až prekvapivo uspokojivý.

O spánku a o smrti (4.8.2008)

Náš nočný spánok je vskutku veľmi záhadná vec. Ja, slobodný človek a svoj vlastný pán a vodca, sa v spánku uvoľňujem, strácam nad sebou kontrolu, zverujem sa silám svojho nevedomého ja, ktoré som nevyvolal a nechápem ich. Spánok je aktom dôvery v základú správnosť, bezpečnosť a dobrotu môjho sveta, aktom viery a podvolením sa tomu, na čo nemám vplyv.
Karl Rahner, Belief today.

Asi je trochu zvláštne písať o smrti uprostred krásneho leta, pár dní po tom, čo som sa vrátil z výbornej stanovačky s priateľmi, týždeň po narodení mojej budúcej neterky (-: teda, ide o súčasnú neter mojej snúbenice), v bezstarostný prázdninový deň plný pokoja a oddychu. A možno to ani nie je také zvláštne. V skutočnosti z vecí, o ktorých často rozmýšľam, a o ktorých sa nehanbím hovoriť aj nahlas, je práve smrť jednou z tých každodennejších tém mojich úvah.

O smrti sa mi najlepšie rozmýšľa v noci, keď všetci naokolo spia a ja zaspávam tiež. Ten zvláštny stav mysle pri zaspávaní, keď človek začína na pár hodín strácať vedomie ma častokrát vydesí a spustí moje nepokojné úvahy. Večerné strácanie uvedomenia si seba a okolia mi vnucuje nepríjemné obavy, že možno raz podobným spôsobom zaspím natrvalo. Nepríjemný pocit zvýrazňuje aj fakt, že stav nevedomia som už "zažil" v časoch pred mojím počatím.

Nadovšetko ešte tá rituálna každodennosť bezbranného zaspávania. Ako keby sa moje vedomie vždy zobudilo práve do momentu, keď sa ho chystám na pár hodín vzdať. To vo mne mocným spôsobom zviditeľňuje fakt, že finálny večer - smrť je strašne blízko, akokoľvek je ešte ďaleko. Konečný počet dní je stále iba konečný počet dní. Posledné mesiace pred svojou smrťou mi môj starý otec s akýmsi pokojným údivom hovoril, že nechápe, kam sa tie roky života podeli (bolo ich vyše 86).

Smrť je navyše nezdielateľná skúsenosť. Ak ju raz niekto naozaj dokonca "zažije", už nám o tom nič nevypovie. To je dôvod, prečo nevedomý spánok nemožno tak jednoducho, napriek nepríjemným pocitom a predtuchám, brať ako predobraz "posledného spánku", teda smrti. Smrť ako anihiláciu a definitívny koniec uvedomenia si seba nemôže nikto experimentálne overiť, a ak by bola skutočne realitou, tak potom z definície nikto ani skutočne "zažiť". Poznámka k experimentálnej overiteľnosti - naturálna veda chápe mozog ako hlavného nositeľa vedomia, priestor, v ktorom sa odohráva ľudské ja. Napriek tomu, že moderná veda objavuje stále zaujímavejšie a hlbšie súvislosti medzi touto fyzickou štruktúrou a vnútorným "nehmotným" svetom myšlienok (ktorý sa však v mnohom javí oveľa hmotnejší ako povedzme pred 100 rokmi), zo samotnej povahy prírodnej vedy a jej metodológických východísk asi nemožno usudzovať vôbec nič o "večnej duši", o existencii nejakej formy vedomia po smrti ľudského tela. Dôvody myslieť si, že niečo po smrti je, rovnako ako dôvody myslieť si, že po smrti nič nie je nemajú prírodovedeckú podobu. Sú zo zásady filozofické.

Nezdielateľnosť smrti robí z tohto záverečného aktu ľudského telesného života úplne osamotený moment. Keď som bol malý, lepšie sa mi zaspávalo pri rodičoch. Takisto si myslím, že akýkoľvek smutný stav duše, a aj bezmocnosť pred nocou človek nesie ľahšie po boku milovanej osoby. Myslím si, že ľudská blízkosť v čase umierania môže byť cenným potešením. Úplné finále však človek zažíva sám. Dokonca i čisto z fyzického pohľadu sa zdá, že pred úplnou stratou duševnej činnosti sa najprv utlmia zmysly - najprv zrak, neskôr sluch... To všetko robí zo smrti sólový zážitok. Nezdielateľný, pre iných neopísateľný, jediný.

Ak by sa mal človek smrťou prepadnúť do ničoty, z ktorej vzišiel, smrť by bola len zúfalým koncom beznádejne prázdnej existencie. Ak je konečný život tým všetkým, čo je, tak potom žijeme vo veľmi smutnom a veľmi nepochopiteľnom svete. Na druhej strane, ak by mala po smrti nasledovať večnosť podobná ľudskej časnosti - v podobe nekonečna ďalších vedomých okamihov prebiehajúcich v nejakom lineárnom čase, alebo v podobe striedajúcich sa životov, tak to by v prvom prípade bolo prinajmenšom čosi zvláštne, a v druhom prinajmenšom čosi úplne strašné a nezmyselné.

Kresťanstvo je postavené na viere v existenciu dobrého Boha, ktorý svoju správu ľuďom komunikoval v Biblii a v živote Ježiša Krista. Kresťanská interpretácia posmrtného života mi poskytuje logicky uspokojivé vysvetlenie. Z kresťanského hľadiska je život priestor pre to, aby si človek vybral spôsob existencie. Vo fyzickom živote človek spoznáva morálne zákony, charakter Boha, a robí rozhodnutia. Po smrti bude existovať alebo v jednote s Bohom alebo v úplnej izolácii od Boha. A ak tomu dobre rozumiem, posmrtný život nebude prebiehať v čase. Čas je rovnako, ako fyzický svet, ktorý nás obklopuje, stvorený Bohom. Tak ako existujú filozofické a vedecké dôvody nazdávať sa, že čas má v súlade s Bibliou počiatok, tak existuje Biblicky aj logicky opodstatnená nádej, že večnosť s Bohom nebude mať podobu prebiehajúcu v čase.

Ku konečnosti času vzhľadom na jeho počiatok poukazujú napríklad slová z Genezis 1:1, alebo Ján 1:1. S konečnosťou času smerom k jeho záveru je to zložitejšie, no pripadá mi byť zmysluplné veriť, že čas raz skončí. Čiastočným náznakom môže byť Zjavenie Jána 10:6, alebo jednoducho predpoklad, že vzkriesení budú mať podobu blízku Kristovmu oslávenému telu. Takýto pohľad z detského rozprávkového "nebíčka", kde bude všetkým fajn a budú mať čo jesť, robí skutočne uspokojivú predstavu naplnenej existencie v takom spojení s Bohom, aké doteraz pre nikoho nebolo možné. Tým poskytuje aj predpoklady pre vysvetľovanie zmyslu pozemského života. Kresťanský pohľad na nebo má ďaleko od nejakej pudovej túžby žiť, úzkostlivého lipnutia na svojom bytí.

Konkrétne detaily o živote po smrti však môžu znieť pochybne už len preto, lebo jednoducho žijeme vo svete, ktorý prebieha v čase. Sila kresťanskej výpovede teda nie je v tom, že poskytuje nejaké pestré detaily o tom, ako presne to po smrti bude vyzerať, ale v tom, že dáva dôvod žiť zmysluplne, a smrť nevnímať ako bezútešný koniec desivého života.

Šafárikovo námestie 1968 (4.7.2008)

Či už ste vpád vojsk varšavskej zmluvy do Československa v auguste 1968 zažili alebo nie, odporúčam vám spraviť si niekedy prechádzku na Šafárikovo námeste v Bratislave. Je tam inštalovaná výstava fotografií Ladislava Bielika. Je smutné, že vyučovanie dejepisu sa na základných a stredných školách spravidla končí prvou svetovou vojnou, resp. medzivojnovým obdobím. Historické súvislosti, ktoré sa takmer bezprostredne dotýkajú súčasnosti tak ostávajú študentom neznáme. Typický reprezentant porevolučnej generácie (teda aj ja), ak o komunizme niečo vôbec tuší, tak je to akurát obraz získaný z českých komédií, alebo z nejasných rečí v médiách. Výstava na Šafku vám to, čo sme možno nevideli a o čom možno veľa nevieme, vyrozpráva rečou sugestívnych obrazov, fotkami nabitými strašnými pocitmi. Okrem cenného obsahu je výstava príťažlivá aj svojou formou - konštrukcia zo starých betónových valcov pre pouličnú reklamu natretých načerveno, na ktorých je napnutý dlhý pás štylizovaný do podoby fotografického filmu (v tomto prípade pozitívu:-). Film je poskladaný do voľnej podoby päťcípej hviezdy. Celá výstava sa nachádza na miestach, v ktorého blízkosti väčšina týchto fotografií aj vznikla.

Kliknutím na obrázok otvoríte galériu obsahujúcu pár záberov z výstavy. Nech vám slúži ako návnada pre návštevu tejto expozície.

prečo zaváraniny nechávame chladnúť dolu hlavou? (3.7.2008)

Jednou z pekných letných aktivít je zaváranie. Okrem toho, že táto jednoduchá technológia pomáha preklenúť pomerne krátke obdobia prívalu úrody so zvyškom roka a rozložiť tak konzumáciu plodov ovocných sadov na dlhšie obdobia, je to aj celkom príjemná spoločenská aktivita. Od zberu ovocia, cez jeho umývanie, čistenie, zaváranie až po konzumáciu k nedeľnému obedu je to stále spoločenská činnosť. Teda aspoň väčšinou. Spoločné zdesenie nad nemiznúcou kopou jabĺk čakajúcich na ošúpanie, alebo višní čakajúcich nad odkôstkovanie, doplnené pomalými rozhovormi v dusne letných večerov...

Technológia zavárania je múdra. Sterilizácia varením, konzervácia cukrom,... všetko má svoje miesto. Jeden krok je ale výnimočne zaujímavý, lebo nie všetky gazdinky v mojom okolí mi vedeli vysvetliť jeho význam. Všimnite si obrázok:

Po naplnení a uzavretí skleneného pohára je vo zvyku tento pohár postaviť hore dnom. Prečo sa to takto robí? Poďme na to postupne. Máme sklený pohár. Nasypeme doň ovocie. Do pohára nalejeme vriacu kvapalinu - kompótový sirup. Pohár zavrieme. Pod vrchnákom ostalo malé množstvo vzduchu - možno na výšku jedného centimetra. Potom pohár otočíme. Takže prečo? Odpoveď sa skrýva v tom malom množstve vzduchu pod vrchnákom. Je ho tam totiž ešte menej ako sa zdá!

V horúcom vzduchu sa molekuly pohybujú divokejšie, preto pre svoj pohyb potrebujú viac miesta. To znamená, že konštantné množstvo vzduchu (v zmysle hmotnosti) pri vyššej teplote zaberie viac miesta. Alebo inak - ak by sme zohrievali konštantné množstvo vzduchu v uzavretej nádobe, narastie v nej tlak. Jednoduchý experiment na pozorovanie vzťahu objemu a teploty vzduchu - naplňte plastovú fľašu do polovice horúcim čajom a potom ju pevne zavrite. Po nejakom čase, keď sa čaj ochladí, a hlavne, keď sa ochladí vzduch vo fľaši, vidíme, že rovnaké množstvo studeného vzduchu potrebuje už oveľa menej priestoru a fľaša sa stiahne.

V zaváraninovom pohári máme teda v momente zatvárania horúcej fľaše horúci vzduch. Chladnutím pohára nedochádza k jeho výraznej deformácii ako v prípade plastovej fľaše, a tak v pohári klesá tlak. Tento pokles tlaku je veľmi výhodný, lebo pomáha pritláčať vrchnák k poháru. Na dobre zavarenom pohári je po vychladnutí vrchnák preliačený dovnútra. Takto uzavretý zaváraninový pohár dobre oddeľuje svoj obsah od okolitého sveta, čo je žiadúce z hľadiska trvanlivosti kompótu. Teraz sa už môžeme pokúsiť zodpovedať si otázku, prečo sa teda dávajú zaváraninové poháre chladnúť dolu hlavou? Pri chladnutí vzduchu sa nemení v pohári objem (teda, zmenší sa len o to množstvo, o koľko sa preliači vrchnák). Keby pohár nebol dobre zavretý, pokles tlaku by mal tendenciu vyrovnávať sa nasávaním vzduchu. Pokiaľ je pohár postavený normálne, hore vrchnákom, toto nasávanie si nemáme veľmi ako všimnúť. Keď je však postavený dolu vrchnákom, nasávanie vzduchu cez netesniaci vrchnák je sprevádzané stĺpcom stúpajúcich bubliniek v kompóte. Iné, vysvetlenie je také, že ak tlak klesá v normálnej polohe pohára s bublinou priamo pod vrchnákom, je vyrovnávanie tlaku s okolím popod vrchnák pohára jednoduchšie, ako keby sa mali bublinky predierať cez kompótový sirup ako je to v prípade, keď je pohár hore dnom. Keď je už pohár studený a podtlak je vytvorený, vrchnák je už pevne "pricucnutý" k poháru a po jeho otočení do normálnej polohy sa už popod vrchnák vzduch dovnútra tak ľahko nedostane.

Doplňme túto úvahu ešte troma zaujímavosťami.

1. Podtlak vysvetľuje, prečo sa ľahšie otvára pohár, ktorému najprv mierne vykrivíme vrchnák tak, aby sa dovnútra dostal vzduch. Podtlak vovnútri pritláča vrchnák na sklo pohára. Preto sa pri otváraní ťažko otáča, lebo pritláčanie podtlakom zvyšuje trenie pri otáčaní.

2. Prečo funguje cukor ako konzervant? Jeho konzervačné vlastnosti si vieme vysvetliť na princípe osmózy. Osmóza je prirodzený jav vyrovnávania osmotického tlaku. Osmotický tlak si zjednodušene môžme predstaviť napríklad ako množstvo nejakej soli (pevných častí, minerálov,...) vo vode. Keď ponoríte bunku do destilovanej vody (vody bez akejkoľvek soli), v bunke je kvapalina slanšia ako v jej okolí. Vyrovnanie hladín soli sa udeje buď tak, že bunka vypustí do okolia množstvo svojej soli, alebo prijme určité množstvo vody z okolia. Bunková membrána však spravidla preferuje vyrovnávanie osmotického tlaku prepúšťaním vody, nie solí, lebo to by v jej prípade mohlo znamenať stratu dôležitých látok alebo aj vnútorných orgánov:-) Keby ste vypili v priebehu jednej hodiny viac ako 18 litrov vody, v dôsledku osmózy sa vaše bunky tak napijú vody, že vám ich popraská dostatočne veľké množstvo na to, aby ste zomreli. Podobne, keď strčíte červíka do veľmi slanej (alebo aj sladkej) vody, vypustí zo svojich buniek také množstvo vody, že zomrie na vysušenie (preto zomierajú stratení námorníci na otvorenom slanom mori). Sladký sirup vycucne vodu z mikroorganizmov v ovocí kompótu a preto umrú (ak už neumreli pri varení:-).

3. Skúste urobiť experiment s horúcou vodou v zavretej fľaši spomenutý vyššie, ale namiesto obyčajnej fľaše použite termosku. Po pár minútach bude v termoske prekvapivo pretlak a nie podtlak! V doterajších úvahách sme totiž zanedbali vyparovanie kvapaliny, ktoré práve tu zohráva významnú úlohu. Vodná para vo fľaši zvyšuje tlak. V termoske kvapalina, v súlade s jej bytostnou podstatou, chladne veľmi pomaly, a teda veľmi pomaly narastá podtlak. Tak pomaly, že rýchlosť narastania tlaku v dôsledku odparovania horúcej kvapaliny je väčšia! Odparovanie je navyše o to významnejšie, že termoska udržuje kvapalinu dlhšie pri vyšších teplotách a pri vyššej teplote je odparovanie intenzívnejšie. A teda v termoske po pár minútach vznikne pretlak. Znie to neuveriteľne.

Na týchto základoškolských úvahách je fascinujúcich niekoľko vecí: sú pochopiteľné, dá sa na to prísť vlastnou hlavou, dajú sa k nim robiť jednoduché experimenty, a aj keď nemusia vždy presne opisovať realitu, sú k tomu aspoň blízko, alebo sú aspoň cenné z hľadiska myslenia. Niekedy je veľmi ťažké odhadnúť, čo sa dá zanedbať a čo nie. Ak máte na zaváranie iný názor, napíšte mi, prosím!

hovor, prosím ťa, zrozumiteľne! logická reč (10.6.2008)

Určite poznáte ľudí, ktorí vám po zaklopaní na dvere nepovedia "ďalej", ale vás pozvú dovnútra rečením "bližšie" - myslia tým, že máte pristúpiť bližšie. Alebo keď prídete do čakárne k lekárovi a spýtate sa kto je posledný, povedia, že vy. (Tí sociálne nadanejší jedinci tejto kategórie ešte empaticky dodajú "Ale ak by vás to zaujímalo, predposledný je tamten pán...") Keď sa spýtate: "Nedáš si kávu?, " takýto človek vám v prípade nezáujmu o kávu odpovie "Áno." (Myslí tým Áno, nedám si kávu.)

Zhodou okolností alebo asi aj preto, že sme v rodine zo štyroch synov traja matfyzáci a že moji najbližší priatelia sú vo veľkej väčšine bývalí GJHáci, stretávam sa s takouto rečou úplne bežne. Ja chápem takéto jazykové šantenie ako príjemné oživenie bežných životných situácií, poprípade ako vhodné cibrenie ostrovtipu pre dospievajúcich mládežníkov, ale nie každému je takéto zahmlené (v skutočnosti práveže veľmi presné) vyjadrovanie po chuti. Ľuďmi, ktorí takýmto žartom neholdujú vôbec nepohŕdam a týmto príspevkom apelujem na všetkých logikov, aby sa snažili v bežnej komunikácii používať namiesto precízne logickej a jasnej reči skôr bežný zahmlený hovorový spôsob. POZOR! Nenechajte sa pomýliť! Keď vám niekto nerozumie a nalieha na vás, aby ste hovorili zrozumiteľnejšie, takýto človek väčšinou myslí (napriek tomu, čo vraví), aby ste hovorili nezrozumiteľnejšie a nelogickejšie, ale spôsobom, ktorý je bežný a väčšine ľudí zrozumiteľnejší aj keď je často nelogický.

K tejto úvahe ma priviedlo čítanie knihy Hejný, M.: TEÓRIA VYUČOVANIA MATEMATIKY, kde som narazil na túto milú pasáž: Podobnú metódu kultivácie logiky a vyjadrovania zvolil vyučujúci na istom gymnáziu. Keď napríklad na matematický kabinet zaklopal žiak a opýtal sa, či je v kabinete prítomný profesor XY, dostal kladnú odpoveď a dvere sa zavreli. Žiak teda zaklopal ešte raz a povedal: "Pán profesor, mohli by ste mi zavolať pána profesora XY?" Opäť dostal kladnú odpoveď a dvere sa opäť zavreli. Až do tretice všetkého dobrého sa žiakovi podarilo sformulovať svoju prosbu náležite: "Pán profesor, prosím vás, zavolajte mi pána profesora XY." Učiteľ s úsmevom povedal "Veľmi rád," a kolegu XY zavolal. Študenti pochopili túto koverzáciu ako zábavnú hru a začali tak rozprávať aj vo vzájomnom styku. Malér nastal, keď vyučujúca iného predmetu pristavila na chodbe cez prestávku jedného logicky vyškoleného študenta s otázkou "Máš hodinky?". Študent odpovedal "Mám," a bežal ďalej. Kolegyňa to pochopila ako útok na vlastnú osobu, a nie ako kúzelnú hru na presné vyjadrovanie.

school fun. (10.6.2008)

pri určitej rovnováhe medzi náročnosťou prednášky, spôsobom výkladu a vonkajšej teploty vzduchu dochádza k zvláštnemu javu. s kolegami janom a janom prestávame dávať pozor na obsah učiva a namiesto toho zanietene hráme číselnú verziu známej hry logik, alebo vznikajú rôzne karikatúry a kreslené vtipy.

zopár z takto vzniknutých obrázkov som naskenoval a zverejnil v novej galérii - school fun. Kliknutím na tento link alebo na obrázok sa galéria otvorí v novom okne.

Tento obrázok sa snaží zachytiť, že niektoré plody matematického názvoslovia by mohli nečakanému návštevníkovi znieť zvláštne. Pri Hermitových polynómoch, na ktorých zápis sa používa zhora aj zdola oindexované písmeno H napríklad môže odznieť podobná veta ako "H5N1 si spravte na domácu úlohu." Podobne zábavne vyznievalo, keď sa kedysi v prvom ročníku spolužiačka Elenka strhávala pri prečítaní zapísaného výrazu "prirodzený logaritmus z k" (ln k = [el en ká]).

20Q. (5.6.2008)

Naďabil som na asi už dosť klasickú zábavku, ktorej zábavnosť tkvie v okúzľujúcej presvedčivosti umelej inteligencie založenej na neurónovej sieti. Program 20Q vás vyzve, aby ste si mysleli nejakú vec, zviera,... a potom vám kladie otázky. Väčšinou do zodpovedania tej dvadsiatej vie uhádnuť, na akú vec ste mysleli. To, čo je na tom celom pekné, je, že program založený na neurónovej sieti je schopný učiť sa. Prakticky to znamená, že nepotrebuje, aby mu niekto pre každé možné slovo zadefinoval presný vektor odpovedí, ktoré by určovali toto slovo. Z rôznych (nie nutne stopercentne neprotirečivých) odpovedí sa toto program učí sám. Preto, čím viac ľudí sa s ním túto hru zahrá, tým lepšie sa mu darí hádať. Z tohto dôvodu je lepšie zahrať si hru po anglicky.

Ja som si 20Q vyskúšal so slovkom mitochondria. V českej verzii to neuhádol ani na 28 otázok. Ale v angličtine ma 20Q očaril, mitochondriu uhádol, napriek tomu, že som mal tri odpovede inak ako to videl on. Inak, hrať takúto hru s blízkym človekom môže do vášho vzťahu vniesť nečakanú dynamiku. S Miriam sme sa dnes prechádzali po Prievoze a ona hádala mitochondriu. Veľmi zaujímavé a rozdielne medzi skutočnou inteligenciou a umelou inteligenciou bol systém otázok. Teda, ten program má určite premyslenú stratégiu. Ale dojem je taký, že zatiaľčo Miriam sa k odpovedi blížila postupne - každou otázkou zmenšovala okruh možností - 20Q sa pýtal doradu rôzne kuriózne veci, a potom zrazu dal správnu odpoveď. Ako keby človek mal skôr prístup zlepšovania aproximácie, kým tento systém umelej inteligencie zas pristupoval k problému akosi kombinatorickejšie.

Odporúčam kliknúť si na 20Q a trochu sa nechať očariť. Ak viete po anglicky, určite si pozrite radšej anglickú verziu. Vyhnete sa tak otázkam typu Je to těžší než 0,5 kg másla? :-) (Odhadujem, že pôvodná, anglická verzia otázky asi znela, či je to väčšie ako libra masla...)

Bobby McFerrin. (20.5.2008)

Autorom fotografie je Rob Garland, a na tejto stránke je použitá s jeho láskavým dovolením. Originál nájdete na http://www.robgarland.com/blog/?m=200704 alebo navštívte http://www.robgarland.com/
A picture by Rob Garland is used here with his kind permission. To see the picture in it's original context, visit Rob Garland's homepage by clicking one of the above links.

S Miriam sme zažili jeden z najlepších koncertov v živote, preto sa o ňom rozpíšem trochu obšírnejšie. Bobbyho McFerrina sme si veľmi obľúbili niekedy počas minuloročného leta, keď sme narazili na nejaké videá z jeho koncertov na youtube (koncert v Lipsku pri príležitosti 250-teho výročia Bachovho úmrtia - Bach/Gounod: Ave Maria; Bach: Partita III, E dur: Preludium). Videá sú fajn na to, aby sa človek presvedčil, že to naozaj robí naživo, lebo zvuk môže zvádzať k pomysleniu na multiplayback.

Legálne možno zadarmo Bobbyho hudbu vo výbornej kvalite počúvať na jeho oficiálnej stránke. Veľmi odporúčam navštíviť. Na konci minulého leta nám s Miriam daroval môj brat Roman skvelé CD Circlesongs, na ktorom McFerrin spieva spolu s ďalšími dvanástimi spevákmi repetitívne piesne skoro až duchovného charakteru.

Koncert bol úžasný. Začal sústredenou sólovou skladbou a pokračoval sólovými skladbami, piesňami so zborom konzervatória, s Close Harmony Friends, s džezovou speváčkou Luciou Lužinskou a rozospievaným publikom. Keď si pustíte rádio na Bobbyho stránke, môžte si vypočuť ako znejú jeho sólové veci - jednou rukou si búcha po hrudníku (perkusie) a spieva, pričom veľmi efektívne strieda hlasové registre - uspieva si basovú linku, melódiu aj nejakú tú harmóniu pomedzi. Na koncerte mu pomáhala celkom pekná pridaná ozvena (zvuk je spojitejší, medzery v jednotlivých linkách sa trochu prekryjú dozvukom) a trochu zosilnené basy. Výsledok bol naozaj geniálny. Asi najefektnejšia bola skladba drive, najviac sa ľudia nasmiali na skladbe jump (tú má na stránke). Prekrásne a jemné bolo Bachove Air (Orchestrálna Suita č. 3, D dur), ktoré tentokrát zaspieval úplne sám - s Mimi sme obdivovali, ako si z pôvodnej plne harmonizovanej skladby rozpísanej pre komorné teleso povyťahoval práve tie tóny, aby to znelo úplne prirodzene a spojito.

Asi v polovici koncertu sa zbavil prenosného odposluchu na slúchadlo a začal sa pohybovať energickejšie. Rozospievavanie publika začal už svojou klasickou fintičkou - "spontaneous inventions" (to od času 2:19 robil aj v Bratislave), ktorú asi kedysi dávno na koncerte spontánne vymyslel:-) Spievanie z publika popri McFerrinovi pôsobí nádherne uvoľňujúco a povzbudzujúco. Skvelé, že keď spieva niekoľko sto až tisíc ľudí, vôbec to neznie falošne - asi sa jednotlivé výchylky spravidla neprichádzajúce v tom istom čase "vyhladia a spriemerujú" okolo základnej melódie (keď sa pomýli jeden človek, je to počuť; keď spievajú dvaja a obaja sa pomýlia, ale v rôznych momentoch, potom v momente chyby znie vždy aj dobrý aj zlý zvuk a výsledok je bližšie k ideálu ako keď spieva človek sám; keď spieva 100 ľudí a každý sa pomýli v trošíčku inom momente, tak v momente chyby vždy znie 99 správnych tónov a ten zlý takmer zaniká; atď).

Efekt fiktívnej klaviatúry je ďalšia milá vecička, ktorou výborne pobavil publikum. Ľudia spievali podľa toho, ako stúpal po pódiu pri predstave, že tam leží akási zväčšená klaviatúra s klávesou šírky jedného tónu. Keď diváci - speváci pochopili princíp, začal spievať svoje melódie, zatiaľ čo my sme mu robili podklad podľa jeho chôdze. Skvelé.

Jediné, čo som absolútne nepochopil bolo vystúpenie Close Harmony Friends. Zaspievali akúsi čudnú, zúfalú odrhovačku. Je to zvláštne, lebo tento súbor vie robiť skvelé veci, spievať Bachove fúgy alebo robiť vocal sampling známych pesničiek, ale to, čo predviedli tu, bolo nepochopiteľné.

Záver koncertu bol nabitý obrovskou "energiou". Spievali všetci hostia, publikum aj šaman McFerrin. Hostí (spolu asi 35-40 ľudí) rozdelil do štyroch vokálnych skupín. Každej vymyslel krátku rytmyckú figúru, ktorá sa opakovala. Takto navrstvil štyri hlasy. Publikum spievalo niečo jednoduché, alebo opakovalo to, čo predspievaval. Nad tým sa potom niesol sólový spev. Je to skvelé prísť si na koncert a stať sa jeho tvorivou súčasťou. Po koncerte som na toaletách vypočul rozhovor dvoch chalanov, ktorí rozprávali niečo o kmeňovom rituálnom speve a o tom, že také dačo by sa dalo vyskúšať aj v lete pri opekačke pri ohni - len kde zohnať takéhoto "maníka", čo by to celé dal dokopy:-)

Bol to výnimočný koncert. Láka ma napísať, že to bol jeden zo životných Okamihov. Veľký zážitok.

výlet na pajštún. (8.5.2008)

Na Bratislave sa mi páči, že je z nej tak blízko do lesa. Peknou prechádzkou môže byť napríklad trasa Koliba - Pajštún. Prevažne bukový les je tu plný života, sprevádza vás šuchot drozdov, ťukot ďatlov, zurčanie Vydrice, množstvo výborných prameňov (Máriin, Jarošov, Zbojníčka, Kráľovský...) a všetko prenikajúci pokoj a radosť.

Keď môžete navyše kráčať so skvelými ľuďmi, tak ako sa to dnes podarilo mne, o výborné strávenie dňa je postarané.

výlet k letisku. (1.5.2008)

Prvý máj sme s Miriamkou a dobrým priateľom Rišom strávili veľmi pekne. Poobede sme na bicykloch zašli k bratislavskému letisku. Po celkom dobrej ceste sa dá prísť až do blízkosti asi 250 metrov od pristávacej dráhy (letisko je obohnané plotom). Tak sme stáli pri dráhe 13-31 (je dlhá vyše 3100 metrov!). Bolo to nádherné, lietadlá krásne hrmeli.. Najkrajšie bolo asi toto:

deliteľnosť sedmičkou. (20.02.2008)

Ostatné dva týždne som trávil čas na 1. súkromnom gymnáziu na bajkalskej. Bol som tu na pedagogickej praxi z matematiky. Jeden z najkrajších momentov, ktorý som tu zažil bol na seminári v septime Champions. Opakovali sme si tam základy teórie čísel. Jednou z vecí, čo sa na strednej škole učí sú kritériá deliteľnosti, teda akési finty, ktoré nám umožnia o nejakom, hoci aj veľkom čísle, veľmi rýchlo povedať, či je deliteľné napríklad 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 50 alebo 100, či nejakým iným číslom. No a ten pekný moment - keď som sa pokúsil preskočiť kritérium deliteľnosti sedmičkou, zdvihla sa v učebni vlna plačlivého nesúhlasu: 'veď nám sľúbili, že sa to v septime na seminári dozvieme! Načo sme tu tie roky čakali?'

To bolo podľa mňa pekné. Musel som sa priznať, že o kritériu deliteľnosti sedmičkou ani nešípim. Tak teraz sa pokúsim tento dlh vyriešiť a nejaké 'kritériá na sedmičku' tu opísať.

Prvý spôsob
Ilustrujme si prvý spôsob na čísle 289 621 164

(i) Vezmime poslednú cifru. (4)
(ii) Vynásobme ju dvoma. (4 . 2 = 8)
(iii) Výsledok odpočítajme od pôvodného čísla bez poslednej cifry. (28 962 116 - 8 = 28 962 108)
(iv) Ak je tento výsledok deliteľný 7, tak aj pôvodné číslo je deliteľné 7, a ak nie je, tak ani pôvodné číslo nie je. Ak to ešte stále nevieme rozhodnúť, postup opakujeme.

V našom príklade postup budeme opakovať:
2 896 210 - (2 . 8) = 2 896 194
289 619 - (2 . 4) = 289 611
28 961 - (2 . 1) = 28 959
2 895 - (2 . 9) = 2 877
287 - (2 . 7) = 273
27 - (2 . 3) = 21 a to už vieme, že je deliteľné 7, a teda aj číslo 289 621 164 je deliteľné siedmimi, uff, ale sme si vydýchli.

Druhý spôsob
Teraz overme napríklad číslo 4 573 034

(i) Prvú cifru zľava vynásobme trojkou. (4 . 3 = 12)
(ii) A pripočítajme k cifre druhej zľava (12 + 5 = 17)
(iii) Pôvodné prvé dve cifry teraz nahraďme výsledkom. (1 773 034)
(iv) Ak je tento výsledok deliteľný 7, tak aj pôvodné číslo je deliteľné 7, a ak nie je, tak ani pôvodné číslo nie je. Ak to ešte stále nevieme rozhodnúť, postup opakujeme.

Počítajme ďalej:
1 773 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 7 = 10 -> 1 073 034
1 073 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 0 = 3 -> 373 034
373 034 -> 3 . 3 = 9 -> 9 + 7 = 16 -> 163 034
163 034 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 6 = 9 -> 93 034
93 034 -> 9 . 3 = 27 -> 27 + 3 = 30 -> 30 034
30 034 -> 3 . 3 = 9 -> 9 + 0 = 9 -> 9 034
9 034 -> 9 . 3 = 27 -> 27 + 0 = 27 -> 2 734
2 734 -> 2 . 3 = 6 -> 6 + 7 = 13 -> 1 334
1 334 -> 1 . 3 = 3 -> 3 + 3 = 6 -> 634
634 -> 6 . 3 = 18 -> 18 + 3 = 21 -> 214
214 -> 2 . 3 = 6 -> 6 + 1 = 7 -> 74
A o čísle 74 už s istotou vieme, že nie je deliteľné 7. Je otázne, či nám takéto smutné zistenie ponúka dostatočnú satisfakciu za zdĺhavé výpočty, ktorými sme sa k nemu prepracovali (Ja som si to celé trikrát opravoval, a stále neručím za bezchybnosť všetkých výpočtov - takéto algoritmy sú proste skvelým zdrojom omylov).

Tretí spôsob
Najrýchlejší spôsob si ilustrujme na čísle 2 359 406 178 836

(i) Číslo si 'rozsekajme' na dovjciferné skupinky, začínajúc sprava. (2 35 94 06 17 88 36)
(ii) Pre každú skupinku vypočítajme zvyšok po delení siedmimi. (2 0 3 6 3 4 1)
(iii) Tieto zvyšky po delení teraz uložme do skupiniek po troch začínajúc sprava. (3 4 1; 0 3 6; 2)
(iv) Po stĺpcoch tieto skupinky sčítajme. (3 + 0 = 3; 4 + 3 = 7; 1 + 6 + 2 = 9)
(v) Jednotlivé sumy redukujme vypočítaním ich zvyškov po delení siedmimi. (3; 7; 9 -> 3; 0; 2)
(vi) Vezmime 'ľavé dvojčíslie' a zapíšme si zvyšok po delení siedmimi. (30, zvyšok po delení je 2) Podobne vezmime aj 'pravé dvojčíslie' a vyrátajme zvyšok po delení siedmimi. (02 = 2, zvyšok je teda 2)
(vii) Odrátajme ľavú cifru od pravej. Ak je pravá cifra menšia ako ľavá cifra, tak k pravej cifre prirátajme najprv sedem. (V našom príklade sa cifry rovnajú, teda stačí odpočítať ľavú od pravej. 2 - 2 = 0)
(viii) To, čo nám vyšlo, je zvyšok po delení pôvodneho čísla siedmimi. Teda pôvodné číslo je deliteľné sedmičkou práve vtedy a len vtedy, keď nám nakoniec ostane nula. (Nám vyšla 0, a teda 2 359 406 178 836 je deliteľné siedmimi.)

Spoločný nedostatok všetkých troch uvedených algoritmov je zdĺhavosť. Určite by bolo rýchlejšie skúmané číslo jednoducho 'vydeliť pod seba' sedmičkou, než prevádzať túto zvláštnu aritmetickú alchýmiu. Navyše nie je jednoduché tieto recepty odvodiť, dokázať, že naozaj platia a to je asi aj dôvod, prečo sa deliteľnosť 7 nezvykne na školách učiť. Ani ja sa nebudem pokúšať dokazovať uvedené postupy. Pripájam len pár liniek na stránky, kde môžete nájsť podrobnosti:
http://www.cut-the-knot.org/blue/div7-11-13.shtml
http://en.allexperts.com/q/Number-Theory-2079/Brief-method-determining-number.htm
http://www.sciencenews.org/articles/20020817/mathtrek.asp
http://www.divisibilitybyseven.mat.br/

Týmto pokladám svoj dlh voči septime Champions za vyrovnaný. Milí septimania, nech sa vám v živote darí. Keď budete robiť pohovor do nejakého zamestnania, nezabudnite sa pochváliť, že ovládate tri rôzne metódy na skúmanie deliteľnosti čísla sedmičkou. Keď sa vás zamestnávateľ nechápavo spýta, čo to je, neveriacky naň zagúľajte očami, a potom taktne poznamenajte, že to na neho nikomu neprezradíte.

povznášajúci pocit. (20.11.2007)

Koncom leta sme s bratmi Romanom, Radom a s Miriam navštívili priateľov na východe. U nich sme zažili skvelú vec - lietanie na ultralight lietadle. Zistenie: lietanie prináša povznášajúce pocity. Od zážitku s naozajstným lietaním snívam o lietaní a moju pozornosť si získa každá lietajúca hračka. Napríklad:

Najradšej mám komára(to je to lietadlo na gumový pohon - druhé zľava), ktorý sa majestátne vznáša vzduchom, až kým majestátne do niečoho nenarazí, alebo nepristane. Keď som s ním bol párkrát vonku, bol som prekvapený, koľko susedov sa pri mne pristavilo - rodičia s malými deťmi, ktoré boli unesené, starý pán, ktorý spomínal na časy, keď si sám vyrábal klzáky (vetrone), ale aj stará dáma, ktorej sa let jednoducho páčil. Aj môjmu otcovi, aj mojej babke sa to páčilo. Sme už veľkí, ale kým máme v očiach odlesk radostnej detskej zvedavosti, hráme sa a sme nažive.

ľudský zrakový systém. (5.11.2007)

Mal som tú česť pripraviť na predmet Počítačová grafika na Internete referát o ľudskom zrakovom systéme. Mojím zámerom pritom nebolo len vymenovať súčasti zrakového aparátu. Snažil som sa referát viesť z pohľadu človeka, ktorý spoznáva fungovanie ľudského videnia. Nesnažil som sa pomenovať všetky detaily, ale skôr principiálne opísať fungovanie. Nie anatómia, ale fyziológia. Tu vám ponúkam textovú časť môjho referátu. Najväčšou zábavou na ľudskom zraku je, že sa dá pri jeho poznávaní skutočne bádať sebapozorovaním. Prajem vám, aby vás tento jednoduchý text motivoval k hlbšiemu skúmaniu a priviedol vás k radosti z objavovania. Žijeme v krásne skomponovanom svete.

Tu si stiahnite referát:
ludsky_zrakovy_system.doc

temperované ladenie. (9.10.2007)

Nedávny rozhovor ma znova priviedol zamyslieť sa nad temperovaným ladením. O čo ide? Ide o spôsob ladenia hudboných nástrojov. Kedysi to bolo takto: keď brnknem na strunu (napríklad môžem brnkať na gitare, alebo hoci aj na napnutom špagáte na sušenie prádla), ozve sa zvuk. Keď brnknem na strunu (rovnako hrubú a pružnú), ktorá má polovičnú dĺžku, zvuk, ktorý začujem bude o oktávu vyšší. Ako znie oktáva? Na klavíri môže znieť napríklad takto:
rozne dvojice tonov vo vztahu jednej oktavy
zakladny ton a potom jeho oktava, potom oktava jeho oktavy atď.

Keby som namiesto polovičnej dĺžky vzal dvojtretinovú dĺžku (vzhľadom k pôvodnej strune), brnknutie by znelo o kvintu vyššie. Takto definovaná kvinta je interval, v ktorom dvojica tónov znie pekne. Kvinta znie takto:
rôzne kvinty

Pomer 2/3, ktorý udrčuje vzťah dĺžok pekne súznejúcich strún, zvaný kvinta má - ako vidíme - tvar jednoduchého zlomku. Podobne je to aj s veľkou terciou (daná pomerom 4/5), aj s intervalom zvaným kvarta (3/4) a zopár ďalšími. Takéto pekné zlomky určujú uchu lahodiace zvukové intervaly. Tieto pomery objavili starí Gréci (Pythagorejci?) a neskôr sa stali základom pre ladenie nástrojov. Neviem, či uchu lahodia práve preto, že to tak jednoducho v prírode je, alebo preto, lebo si na to naše ucho vychované západnou kultúrou (tá zas bola vychovaná starogréckou posvätnou úctou k racionálnym číslam a teda aj pekným zlomkom) takto zvyklo. Poznámka pre bádateľov: zdá sa mi, že keď fúknem do prázdnej fľašky (alebo rúrky, či flauty so zakrytými dierkami na prsty) len slabým dychom, ozve sa akýsi základný tón. Keď potom fúknem silnejšie, ozýva sa oktáva, ale pri rôznych intenzitách dychu sa ozvú aj iné intervaly - zaujímalo by ma, či sú tieto iné intervaly pythagorejské, alebo temperované a či je táto ich vlastnosť nezávislá od konštrukcie danej "zvukovej trubice".

Takéto pekné intervaly boli základom pre takzvané prirodzené ladenie. Prirodzené ladenie sa používalo až do konca 17. storočia. Malo nejaký nedostatok? Áno malo. Nedostatok súvisel so skladaním intervalov. Keď napríklad zahráme tón, potom jeho veľkú terciu (frekvencia tónu násobená 5/4) a k nej znova veľkú terciu a potom zas, mali by sme sa dostať na tón vo vzťahu jednej oktávy k pôvodnému tónu:

To je dané požiadavkami systému, ktorý sa volá stupnica. Stupnicu môžeme chápať ako sedem stúpajúcich zvukov, ktoré by mali znieť podobne, aj keď ich všetky posunieme o pár oktáv vyššie alebo nižšie. Problém troch tercií potom vyzerá tak, že keď zložíme tri tercie k základnému tónu "malé a" s frekvenciou 220 Hz dostaneme výsledok (5/4)krát(5/4)krát(5/4) krát 220, ktorý sa rovná 429,6875 , čo je iste menej ako očakávaná oktáva (440). Nie je to však ani dosť ďaleko na to, aby sme mohli povedať, že je to nejaký iný tón stupnice - jednoducho znie "očividne" mimo a nepekne vo vzťahu k prvému tónu. Znie to takto:
a-cis-f-a v prirodzenom ladení

Prirodzené ladenie sa snažilo zachovávať pekné intervaly, ale robilo to takpovediac nekonzistentne - napríklad sa naladilo celé čembalo tak, aby sedeli kvinty odvodené od najspodnejčieho C. Tým ale vznikali niektoré nepekne znejúce intervaly a navyše takto naladené čembalo hralo relatívne pekne len pre stupnicu C a jej príbuzné. Pre iné stupnice ho bolo treba preladiť. V týchto časoch platilo, že napríklad zmenšené e (es) sa nerovná zväčšenému d (dis).

Dobre temerované ladenie bolo medzikrokom k rovnomerne temperovanému ladeniu, ktoré sa používa dnes. V dobre temperovanom ladení sa všetko poposúvalo tak, aby sa dali používať všetky stupnice bez nutnosti prelaďovať nástroj. Neviem, ako presne fungovalo, ale výsledkom bolo dobre znejúcich 24 stupníc, avšak každá znela trochu inak. Práve dobre temperované ladenie prispelo k tomu, že hovoríme o "charaktere stupnice", keďže sa od prirodzených intervalov líšila inak (napríklad v nejakej znela falošnejšie kvinta, v inej zas bola posunutá tercia a podobne).

V súčasnosti sa používa rovnomerne temperované ladenie. To je také, ktoré ignoruje pekné zlomky a berie vážne iba oktávu. Na získanie oktávy potrebujeme násobiť frekvenciu krát 2. Rovnomerne temperované ladenie vzalo stupnicu a rozdelilo ju na 12 rovnako vzdialených poltónov. To znamená, že frekvenciu zvuku o poltón vyššie násobíme dvanástou odmocninou z 2. To preto, aby sme po posunutí sa o dvanásť poltónov prišli k oktáve. Napríklad sedem poltónov (ekvivalent kvinty) nám dá násobenie frekvencie číslom 2^(7/12)=1,498307..., čo je pomerne blízke prirodzeným 3/2 (racionálny pomer pre odvodenie frekvencie kvinty).

V rovnomerne temperovanom ladení sú všetky stupnice zvukovo "izomorfné", teda intervaly vo všetkých stupniciach majú rovnaké pomery, znejú rovnako, len sú posunuté podľa voľby stupnice. To umožnilo rozvoj harmónie a slobodu modulácií v hudbe 19. a 20. storočia. Teraz si pripomeňme problém troch tercií v prirodzenom ladení. Znelo to takto:
a-cis-f-a v prirodzenom ladení, teda násobené (5/4)

Takto znie riešenie v rovnomernom temperovanom ladení:
a-cis-f-a v rovnomerne temperovanom ladení, teda násobené iracionálnym číslom 2^(4/12)=1,259921...

Na záver tohto zamotaného rozprávania dodávam už len toľko, že v praktickej hre v orchestri sa častokrát vôbec nehrá presne - hudníci s meniteľnou výškou tónu (sláčiky, dychové, spev) prispôsobujú svoje zvuky buď vlastnému (asi nie rovnomerne temperovanému) sluchu, alebo sú dané intonáciou. Viac na túto tému na http://www.jimloy.com/physics/scale.htm, čo je stránka, z ktorej som aj značne čerpal.

tá dvojitá čiara za lietadlom. (22.8.2007)

keď som ešte býval s rodičmi v byte na ôsmom poschodí na juhozápadnom konci petržalky, rád som podvečer sedával na balkóne a pozeral som sa na oblohu - mali sme pekný výhľad na veľký výrez oblohy. osobitou štruktúrou, ktorú možno na oblohe vidieť sú "čmuhy", dvojité pásy za lietadlami. je krásne pozerať, ako sa objavujú, menia, niekedy úplne deformujú až miznú. pri západe augustového slnka tieto zvláštne útvary pekne dopĺňajú hru farieb večernej oblohy.

čo to však za tými tryskáčmi vlastne na oblohe ostáva? keď som ešte býval u rodičov, myslel som si, že sú to je dym z motora lietadla. v skutočnosti je to však niečo trochu iné. je to oblak.

čo sú vlastne oblaky? vysvetlime si aspoň čosi základné. jednou z charakteristík vzduchu je vlhkosť. vlhkosť vypovedá o tom, koľko vodnej pary vzduch obsahuje. keď vzduch dosiahne 100% vlhkosť, znamená to, že je taký plný vody v plynnom skupenstve, že ak by sme doňho ešte chceli pridať ďalšiu paru, tá sa tam už "nezmestí". hovoríme, že je nasýtený. nadbytočná para kondenzuje na vodu v kvapalnom skupenstve. na kondenzáciu potrebuje para pevné čiastočky - napríklad prach, dym, alebo pokrievku plechového hrnca.

nie každý vzduch má však rovnakú schopnosť udržať si vodnú paru. studenší vzduch má menšiu "kapacitu", teda zmestí sa doň menej vody. to znamená, že vzduch s teplotou 0°C a vlhkosťou 100% obsahuje podstatne menej vody ako vzduch s teplotou 25°C a vlhkosťou 100%. to je dôvod, prečo v zime vidíme svoj dych. pri vydychovaní odovzdávame okoliu isté množstvo vody (do 500ml vody denne). v lete sa táto para rozptýli vo vzduchu. v zime je však vydýchnuté množstvo pary pre studený vzduch priveľkým sústom. ten sa hneď stáva nasýteným a prebytočná para kondenzuje.

oblačnosť vzniká podobne - napríklad keď sa ochladzuje vlhký vzduch po zotmení, keď z hladiny teplého jazera stúpa teplá para a tá sa vo výške rozpína, ochladzuje a kondenzuje... oblak potom tvoria tie skondenzované vodné kvapôčky. oblak vnímame ako biely preto, lebo malé kvapky dobre rozptylujú slnečné svetlo. samozrejme, pojem oblak to nie sú len kvapky vody. je to zložitá dynamika celej tejto fascinujúcej štruktúry a ďaleko presahuje moje chápanie. ale už toho vieme dosť, aby sme sa vrátili k lietadlám.

diaľkové lety lietajú vo výške okolo 10 km nad zemským povrchom. v takejto výšine má okolitý vzduch teplotu menej ako mínus 40°C. takýto vzduch sa už po dodaní malého množstva vodnej pary stáva nasýteným. stačí mu trocha pary, ktorá vzniká pri horení paliva v motore lietadla (voda je oxid, horenie je prudká oxidácia sprevádzaná uvoľnením veľkého množstva energie. napríklad pri horení zemného plynu vzniká voda, rovnako ako pri horení v spaľovacích motoroch aút, mimochodom, to tiež najlepšie vidno v zime). teda vzduch dostáva vodnú paru z výfuku lietadla. ďalším produktom horenia v motoroch lietadla je dym, ktorý obsahuje potrebné pevné čiastočky - kondenzačné jadrá pre kondenzáciu tejto pary. a dvojitý pás oblačnosti za chvostom lietadla je na svete.

od nasýtenosti vzduchu v okolí mráčikov za lietadlami závisí, ako dlho tieto stopy ostanú viditeľné. ak je vzduch nasýtený, možno ich vidieť aj po desiatkach minút. ak je vzduch suchý, miznú veľmi rýchlo, sú len akousi krátkou čiarkou za lietadlom.

"zákon schválnosti" a mhd. (21.8.2007)

cestou zo školy často cestujeme spolu s janom z pezinka a s janom z petržalky. jano z petržalky sa zvykne pozastavovať nad tým, že 93 príde vždy skôr ako 83. občas sa však ľudia sťažujú aj oveľa pesimistickejšie: "vždy sa vystriedajú všetky ostatné linky, kým príde konečne aj ten môj autobus." myslím, že čosi také sa označuje ako zákon schválnosti.

najväčšiu úlohu v takejto frustrácii hrá asi ľudská selektívna zábudlivosť - kto spomína na to, že minule nemusel na autobus čakať ani minútu? zato keď už stojím na zastávke 10 minút a po mojej 83ke ani chýru ani slychu, veľmi ľahko sa mi začnú vynárať spomienky na všetky dlhé čakania v minulosti a zrazu sa mi zdá, že ten môj autobus vždy mešká. ďalšou zložkou problému je fakt, že ak stojím na zastávke spoločnej pre 6-7 liniek, nemalo by byť príliš nezvyčajné, ak hneď prvý autobus nie je ten môj.

skúsme však celú otázku "zákona schválnosti" zjednodušiť. odbremeňme sa od neobjektívnosti ľudského vnímania a tiež zanechajme komplikovanosť zastávky mnohých spojov. predstavme si zastávku dvoch liniek s rovnakou frekvenciou. k úvahám nám poslúži hádanka, ktorú pred rokom (predpokladám, že nielen pred rokom) uviedol na prednáške zo štatistiky profesor pázman:

znudený dôchodca býva v byte neďaleko zvláštnej električkovej zastávky. na tejto zastávke stoja len električky linky X a Y. obidve linky premávajú celý deň bez prestávky, a obidve chodia s rovnakou frekvenciou. táto frekvencia sa po celý deň nemení. znudený dôchodca má cestovanie v MHD zadarmo, tak si vymyslí takúto kratochvíľu: v ktorúkoľvek chvíľu dňa odíde z bytu na zastávku a nastúpi na prvú električku, ktorá príde. do notesa si zapíše, či to bola električka linky X alebo Y. po roku dôchodca zistil, že električkou linky X cestoval 4-krát viac ako električkou linky Y. ako je to možné?

predstavme si, že interval linky X je 5 minút (riešenie funguje aj pre iné intervaly - ak pripúšťame len celočíselné intervaly, tak potom sú to násobky čísla 5). potom zo zadania plynie, že aj Y má interval 5 minút. povedzme, že X premáva každú hodinu v nultej, piatej, desiatej, {5n} minúte. potom stačí, aby Y premávala v prvej, šiestej, jedenástej, {5n+1} minúte. z toho vyplýva, že ak dôchodca príde na zastávku v intervale (5n,5n+1> minúte, pocestuje električkou Y. ak príde v čase (5n+1,5n+5>, pocestuje električkou X. napríklad na to, aby stihol prvú X po 13:00, môže prísť kedykoľvek v čase od 13:01-13:04, na to aby stihol Y, musí prísť presne 13:00.

to ktorá električka príde s väčšou pravdepodobnosťou na zastávku ako prvá teda nezávisí len od frekvencie, ale aj od synchronizácie spojov. keby všal dôchodca linky striktne striedal (teda raz by išiel X, potom raz Y, atď.), a do notesa by si vždy zapisoval dĺžku čakania na spoj, zistil by, že priemerná doba čakania na spoje s rovnakým intervalom by bola rovnaká.

tak je to teda so zákonom schválnosti. aj ak väčšinou príde na zastávku 93 skôr ako 83, nemusí to znamenať, že chodí častejšie, alebo že na ňu cestujúci čakajú v priemere kratšie.

hádanka o toaletnom papieri. (29.3.2007)

včera mi spolužiak dal zaujímavú hádanku. riešenie je dosť jednoduché, aj keď to tak spočiatku nevyzerá:

400 útržkový toaletný papier je navinutý na trubičke s priemerom 5 cm. jeden útržok je dlhý 15 cm a hrúbka papiera je 0,1 mm. aká hrubá je celá rolka papiera?

GJH, najlepšia stredná škola. (26.3.2007)

Gymnázium Jura Hronca je skvelé miesto. myslel som si to, keď som tam študoval a myslím si to aj teraz. dnes som tam zašiel, lebo som potreboval s niečím pomôcť (kvôli predmetu "didaktika" pre moje súčasné štúdium) a pomoc som tam našiel - s veľkou nepredstieranou ochotou. veľmi obdivujem učiteľov, ktorí tu študentom odovzdávajú svoju lásku a starostlivosť. takíto učietelia a takéto školy sú vzácny poklad, sú totálne "odveci" - sú niečím úplne iným ako kultúra z televízie, z električiek alebo presklených budov. sú "strašne dobre ľudskí".

logické úlohy a hádanky. (5.3.2007)

pred rokom som si vymyslel zábavu na nudné prednášky zo štatistiky a z maticového počtu. začal som riešiť logické hádanky. zistil som, že základom pre vyriešenie ťažkých úloh je nevzdať to hneď ako to človek prečíta. nejedno riešenie sa mi vynorilo až po pár dňoch. z prednášok som si veľa neodniesol, nakoniec to boli pre mňa dve najhoršie skúšky (moja chyba), ale vyriešil som veľa zaujímavých úloh. ponúkam tu zbierku niekoľkých logických úloh, najmä prvých zopár je veľmi fajn. uvádzam aj adresy, z ktorých som ich pozbieral. zadania sú v angličtine.

logicke_hadanky.doc

najťažšie sudoku na svete. (21.2.2007)

neriešim sudoku, rovnako ako sa nesnažím z hlavy počítať súčin veľkých čísel. sú to všetko veci, ktorých riešenia sú zadaním determinované a metóda ich riešenia mi nepripadá nijako zvlášť povznášajúca. preto riešenie radšej prenechávam počítaču, ten je v tom lepší. týmto nechcem znevažovať kumšt a šikovnosť ľudí, ktorí sa takýmto veciam venujú.

rozmýšľal som však o riešiteľnosti sudoku, o existencii a o jednoznačnosti riešení (to je asi jediné, čo si pamätám z matematickej analýzy - vždy si položiť tieto dve otázky:-). ale najprv pravidlá hry:

a. do prázdnych štvorčekov sa dopĺňajú čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b. každý z deviatich boxov po 3x3 políčka môže obsahovať každé z čísel 1 až 9 práve raz.
c. každý z deviatich riadkov môže obsahovať každé z čísel 1 až 9 práve raz.
d. každý z deviatich stĺpcov môže obsahovať každé z čísel 1 až 9 práve raz.

za správne zadanú úlohu pokladám tabuľku, v ktorej sú čísla rozložené tak, že neodporujú žiadnemu z pravidiel a až d. potom ale jednoducho možno nájsť zadanie sudoku-úlohy, ktoré by malo veľmi veľa riešení (nie nekonečne veľa). je ním napríklad toto:

vymyslieť však neriešiteľné sudoku, ktoré by neodporovalo podmienkam a-d sa mi zdalo ťažšie, aj som sa snažil nájsť dôvody, prečo by to nemalo byť možné. nakoniec mi dnes ale "svitlo", v električke cestou do školy. uvádzam tu tri príklady - najprv ten, ktorý mi napadol ako prvý, potom taký, ktorý "vyzerá celkom normálne" a nakoniec taký, čo je na prvý pohľad jasný. podobných zadaní sa dá vymyslieť strašne veľa:

ak niektoré z týchto troch vyriešite, prosím, napíšte mi mejl:-)

skúška atramentu

Vitajte v mojom poznámkovom bloku. Tento blok nadväzuje na môj poznámkový blok, ktorý som si nejaký čas viedol na http://rasto.krestania.sk/blok.htm. Prv než sa pustím písať sem nové príspevky, prekopírujem sem niektoré z môjho starého bloku. Ten môj starý blok totiž nebol veľmi interaktívny, nezobrazoval poznámky, ktoré ste za okraj pripísali vy. Tento blok by to mal zvládať o niečo lepšie. Tak uvidíme.