Blíži sa koniec školského roka

Ku koncu roka prichádza u niektorých rodičov k zvláštnemu zlomu vnímania školy: z inštitúcie, ktorú väčšinu roka brali ako Bezúdržbovú bejbisitingovú agentúru sa odrazu stáva Známkovacia spoločnosť, s hodnoteniami neuveriteľnej váhy a celoživotným dopadom na ich deti, ktoré sú však v tom celom nespravodlivo podhodnocované a "niečo sa s tým určite musí dať urobiť".

Veta o výškach a stranách v trojuholníku

Včera mi jeden študent poslal mejlom takéto tvrdenie:

V ľubovoľnom trojuholníku ABC platí:


kde a, b, c, v_a, v_b, v_c sú dĺžky strán a k nim prislúchajúcich výšok.

Tvrdenie sa dá úplne triviálne priamo dokázať s využitím elementárnej aritmetiky a geometrie. Vedeli by ste tvrdenie dokázať aj nejako krajšie - napríklad obrázkom?

Kam sa pohne loďka?

Na Zero seminari sme sa minulý týždeň okrem iného rozprávali o rôznych možnostiach, ako sa dá zostrojiť jednoduché plavidlo. Keď sme brainstormovali o možnom type pohodnu, napadla komusi šialená myšlienka postaviť na kormu jednoplachtovej lode ventilátor:





Čo by sa stalo s takouto loďkou na pokojnej hladine za bezveterného dňa po zapnutí ventilátora? (Šípka naznačuje, že ventilátor fúka vzduch smerom k plachte.) Nie je to také triviálne, tak si pre istotu uveďme možnosti:


a. loďka sa pohne v smere šípky
b. loďka sa pohne smerom opačným ako naznačuje šípka
c. loďka sa nepohne, ostane na mieste.


No, čo myslíte? :-)

Je to spravodlivé?

Každý učiteľ občas musí vyvolať študenta, ktorý bude odpovedať. Niekedy má rozumné dôvody nevyberať náhodne>:-) Častokrát sa však náhodne vyberať snažíme. Rôzni učitelia k tomuto problému pristupujú rôzne. Ja si zvyčajne študentov očíslujem a potom nechám pracovať náhodu zo stránky random.org. Niektorí k tomu pristupujú inak, radšej pomlčím o mojej učiteľke zo ZŠ, ktorá hádzala z výšky na katedru pero - na katedre ležal otvorený menný zoznam študentov a na koho to pero padlo, ten išiel odpovedať (jej postup mal trochu bližšie k hľadaniu aproximácie π než k spravodlivému výberu študenta:-).

Široko-ďaleko najzaujímavejší spôsob však používa naša americká kolegyňa. Dozvedel som sa o ňom preto, lebo študentom sa nezdal byť spravodlivý (a na prvý pohľad ani mne). Pani angličtinárka vyberá študentov takto: Žiakov je v triede 17. Na začiatku hodiny si pani učiteľka zvolí ľubovoľné nešťastné číslo od 1 do 17. Potom vytiahne klobúk s kartičkami, na ktorých sú čísla 1-17. Následne sa začne prechádzať pomedzi študentov a ponúka ich kartičkami. Študent, ktorý je na rade, si naslepo vytiahne kartičku - ak je na nej nešťastné číslo, ide odpovedať. Ak nie, kartičku si necháva a zo zvyšných kartičiek v klobúku si naslepo vyberajú ďalší.

Je takýto systém spravodlivý? Intuícia mi našepkáva, že by som si ťahal z klobúka radšej neskôr ako skôr. Keď si to však prepočítame, zistíme, že intuícia zase raz zradila:

Aká je pravdepodobnosť, že pôjde odpovedať študent, ktorý ťahal z klobúka ako prvý? Nuž, v klobúku je 17 čísel, iba jedno je nešťastné, teda pravdepodobnosť, že si to zlízne prvý je:

OK, a čo druhý ťahajúci v poradí? Odpovedať by išiel, ak by si vytiahol ono jedno nešťastné číslo spomedzi ostávajúcich 16. To celé však je možné len za podmienky, že si nešťastné číslo už nevytiahol prvý študent:


Tretí študent ide odpovedať iba ak si vytiahli niečo iné ako nešťastné číslo prví dvaja. On ťahá už iba z 15 kartičiek. Keď však súčin zlomkov upravíme (krásne sa tam vykrátia čitatele s menovateľmi nasledujúcich zlomkov), opäť nám vyjde rovnaká pravdepodobnosť, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch!



Takto to ide až po posledného:



Tak kontraintuitívne, ako sa to len môže zdať - naozaj je teda jedno, či si ťaháte ako prvý alebo ako posledný, šanca, že pôjdete odpovedať je stále rovnaká. Kto ale pozná naše americké lektorky, ten tuší, že by sa neuchyľovali k fintičkám, ktoré nie su metodicky v poriadku a až taký prekvapený nie je:-)

Poznámka: Keď už sme tu spomenuli konštantu π, prečo nespomenúť aj inú konštantu, e. Keby si zakaždým ťahali čísla všetci študenti, bolo by nesmierne zaujímavé sledovať, koľkým študentom sa úspešne podarilo vytiahnuť číslo, ktoré sa rovná ich poradovému číslu pri vyťahovaní kartičiek z klobúka. Teda, prvý by bol úspešný, ak by si vytiahol jednotku, siedmy by bol úspešný, ak by si vytiahol sedmičku, a podobne. Smutným pokusom by sme nazvali také ťahanie z klobúka, v ktorom sa nikomu zo všetkých 17 študentov nepodarilo vytiahnuť si svoje poradové číslo. Pri veľkom počte opakovaní tohto pokusu by sa relatívna početnosť smutných pokusov blížila k hodnote 1/e.

Autom alebo na bicykli?

Inšpirovaní knižkou Guesstimations sme sa na Zero Seminari venovali tomuto:

Cesta do práce trvá na bicykli hodinu. Na aute trvá 30 minút. Auto sa teda javí byť efektívnejším dopravným prostriedkom ako bicykel. Čo ak ale pripočítame k času cestovania autom aj čas, ktorý strávime zarábaním na náklady spojené s touto cestou? Samotný čas skutočného fyzického cestovania sa tým nezmení, ale "efektívna priemerná rýchlosť" cestovania áno. Ak by malo zarábanie na túto polhodinovú cestu autom trvať viac ako 30 minút, malo by v tomto konkrétnom príklade zmysel začať uvažovať o výmene auta za bicykel :-)


Pokúsme sa teda vypočítať skutočnú efektívnu priemernú rýchlosť auta, berúc do úvahy nielen čas cestovania, ale aj čas strávený zarábaním na toto cestovanie (ktorý je vlastne venovaný cestovaniu).

Priemerná rýchlosť v = celková dráha s / (celkový čas cestovania t_c + celkový čas zarábania na cestovanie t_z)

Celkovú dráhu sme odhadli na 300 000 km - toľko zhruba môže mať najazdené auto, ktorého sa už bežne ľudia zbavujú. Celkový čas cestovania sa dá dorátať, ak odhadneme priemernú rýchlosť auta v premávke. Zohľadňujúc mestské aj medzimestské cestovanie sme túto priemernú rýchlosť odhadli na 50 km/h. Najazdiť 300 000 km teda zoberie 300 000 / 50 = 6 000 hodín cestovania. Teda t_c = 6 000 hodín.

Dorátať čas zarábania na cestovanie je komplikovanejšie, my sme sa pokúsili na to ísť cez odhad celkových nákladov, pričom sme v úvahách rátali s tým, že kupujeme nové auto a tých 300 000 na ňom najazdíme za 8 rokov:

Nové auto = 15 000 e,
Povinné poistenie = 150 e/rok, teda za osem rokov 1 200 e,
Havarijné poistenie prvé tri roky = spolu 1 500 e,
Benzín: 8 l/100 km, cena benzínu 1,5 e / l, teda celkové náklady na benzín sú 3 000 . 8 . 1,5 = 36 000 e,
Údržba: ročne aspoň 500 e = 4 000 e

Určite sme na kopec vecí zabudli a iste sme neodhadli niektoré položky veľmi presne, takisto sme nerátali s pokutami, lebo my sme slušáci - celkové náklady na auto sú teda zhruba 60 000 eur. Koľko čistého času práce si vyžaduje takýto mastný zárobok? Čistý hodinový zárobok sme odhadli na 5 eur (t.j. okolo 800-900 e čistý mesačný plat). To znamená, že na používanie nášho auta sme potrebovali v práci stráviť t_z = 12 000 hodín, čo je dva-krát viac než sme strávili samotnou jazdou autom! To je celkom sila, na hodinu jazdy autom teda treba dve hodiny pracovať.

Celková "efektívna priemerná rýchlosť" auta teda je v = s / (t_c + t_z) = 300 000 / 18 000 = 16,7 km/h, čo je úplne pohodová rýchlosť bicykla, hoci aj s piknikovým košom plným vecí na kormane :-)

Švagor Samo ma upozornil, že podobnú úvahu len s iným dopravným prostriedkom a pešou chôdzou namiesto bicykla už pred asi 150 rokmi riešil H. D. Thoreau:

One says to me, "I wonder that you do not lay up money; you love to
travel; you might take the cars and go to Fitchburg today and see the
country." But I am wiser than that. I have learned that the swiftest
traveller is he that goes afoot. I say to my friend, Suppose we try
who will get there first. The distance is thirty miles; the fare ninety
cents. That is almost a day's wages. I remember when wages were sixty
cents a day for laborers on this very road. Well, I start now on foot,
and get there before night; I have travelled at that rate by the week
together. You will in the meanwhile have earned your fare, and arrive
there some time tomorrow, or possibly this evening, if you are lucky
enough to get a job in season. Instead of going to Fitchburg, you will
be working here the greater part of the day. And so, if the railroad
reached round the world, I think that I should keep ahead of you; and
as for seeing the country and getting experience of that kind, I should
have to cut your acquaintance altogether.

Je dobré zvážiť, či sa nám auto oplatí a možno začať viac používať bicykel. Na obhajobu auta zas treba povedať, že situácia sa výrazne mení, ak v aute necestujete sami, alebo ak do úvah pridáme situácie, keď v aute prevážame veľké náklady, alebo si jednoducho priznáme cenu pohodlia, ktorú sme ochotní zaplatiť. No a ešte jeden pohľad - auto síce naozaj nemá nejakú hrozne veľkú "efektívnu priemernú rýchlosť", ale umožňuje vám lepšie si rozmyslieť alebo určiť relatívne kratší čas samotného fyzického presunu. To môže byť veľmi užitočné napríklad keď veziete manželku do pôrodnice.

Poznámka: Tu som naďabil na zaujímavú štatistiku, v sekcii Cost počítajú "efektívnu priemernú rýchlosť" auta; odtiaľ som prevzal aj toto pomenovanie.